Estimating a density near an unknown manifold: A Bayesian nonparametric approach

作者: Clément Berenfeld, Paul Rosa, Judith Rousseau
来源: Annals of Statistics
主题: 非参数 / 半参数
相关性: 6/10
链接: 期刊页 · arXiv

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一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

本文解决的根本问题是：当数据的支撑集（support）并非整个欧氏空间，而是集中于一个未知的低维子流形（unknown submanifold）的偏移（offset）附近时，如何对数据的概率密度进行估计。这里的“偏移”是指样本点并非恰好落在流形上，而是分布在流形周围的一个“管道”或“管子”内。这是一种“流形假设”在密度估计中的具体实现：数据有内在的低维结构，但观测时叠加了噪声。核心困难在于：(i) 流形本身未知、 (ii) 偏移宽度（管子的半径）可能趋于零、 (iii) 密度沿流形切向和法向的光滑度可能不同（各向异性）。本文使用贝叶斯非参数方法，以location-scale高斯混合先验来解决此问题，并证明后验收敛率达到minimax自适应率。

发展脉络

本文将分散在几个子领域的线索串了起来，大致可按时间与问题焦点划分为四个阶段：

1. 奠基：经典密度估计与minimax自适应理论。此方向的基础是Ghosal & Van Der Vaart (2007)对Dirichlet混合正态先验的后验收敛率分析，和Kruijer et al. (2010)、Shen et al. (2013) 将之扩展到各向同性/各向异性Hölder类、并证明贝叶斯方法可以达到minimax自适应率的工作。同期，Goldenshluger & Lepski (2011, 2014)在频率学派中建立了对Nikol'skii各向异性类的自适应kernel估计理论。这些工作的共同前提是密度支撑为整个欧氏空间或其子集（无流形结构），且光滑度是均匀的。

2. 流形估计（Manifold Estimation） 。并行发展的主线是估计流形本身（而非其上的密度）。Genovese et al. (2012) 在Hausdorff损失下给出了流形估计的minimax界，Aamari & Levrard (2019) 给出了切空间和曲率的最优非渐近率，Divol (2021a, 2021b) 也处理了类似问题。这些工作的典型设定是数据恰好落在流形上（无偏移），或噪声模型是几何的而非概率密度的。

3. 奇异支撑的密度估计（Density Estimation with Singular Support） 。当密度支撑是一个低维子集（而非管道）时，Mukhopadhyay et al. (2020) 提出了Fisher-Gaussian核的混合模型，在贝叶斯框架下获得了弱后验一致性，并展示了良好的实证表现。本文明确指出其工作是对此路的“impulse”（动力）的直接后续。Berry & Sauer (2017) 则处理了流形有边界时的密度估计。本文的核心创新发生在上述两条线索的交汇处——将“流形估计”与“贝叶斯自适应密度估计”结合起来，处理偏移宽度可以趋于零的“介于流形与管型之间”的区域。

4. 本文的位置：Berenfeld, Rosa, Rousseau (2025) 将前两个方向的工具统一：它采用贝叶斯location-scale高斯混合（继承自第二阶段），将其应用于“未知子流形偏移”这一几何结构（继承自第一阶段），并首次提出了适用于该结构的各向异性Hölder光滑度定义。该定义的关键在于区分沿流形切向（内在方向，光滑度β1）和沿法向（偏移方向，光滑度β2）的Hölder指数。论文证明了后验收敛率在偏移宽度r非极小时（见原文条件(3.2)）是minimax最优的（对于自适应的β1, β2和内在维度d），且当r→0时保持了合理（article-optimal）的率。工作被作者定位为向“靠近边界”或“支撑为流形本身”的极限情况的一个迈进，为将来处理此类问题提供了理论基础。

子线索聚类

• 线索一：拓扑/豪斯多夫下的流形与Ridge估计：Genovese et al. (2012)、Aamari & Levrard (2019)、Divol (2021a)等。聚焦于流形本身（点集）的估计，使用Hausdorff距离，或处理密度肩的Ridge（Chen et al., 2015）。密度估计是间接或次要目标。
• 线索二：基于流形的生成模型：GAN（Arjovsky & Bottou, 2017; Radford et al., 2015）、Normalizing Flows（Rezende & Mohamed, 2015）、在流形上的扩散模型（Mathieu & Nickel, 2020, Horvat & Pfister 2021a,b）。这些方法为深度生成方法，侧重于采样和表示学习，而非理论上的minimax率。
• 线索三：奇异支撑的贝叶斯非参数密度估计：Mukhopadhyay et al. (2020) 用Fisher-Gaussian核；Ghosal & Van Der Vaart (2007)，Kruijer et al. (2010)，Shen et al. (2013) 用Gaussian mixture。理论较完善，但要么支撑为光滑（非奇异），要么需支撑流形无（或很小）偏移。
• 线索四：本论文（Berenfeld, Rosa, Rousseau 2025） 独特地将“未知流形偏移”上的各向异性Hölder密度与“location-scale Gaussian mixture”贝叶斯先验结合，并用新定义的光滑度刻画收敛率。它在理论上增强了线索三，在设定上连接了线索一。

核心追问与瓶颈

这个方向在追问的核心问题包括： 1. 偏移宽度r趋近于0时的最优率：当数据越来越接近一个低维流形时（r→0），最优收敛率会退化到什么程度？传统Hölder类不适用，因为它要求法向也光滑，而这在近流形时极难满足或需要巨大样本量才能“看到”。本文用各向异性定义回避了这个问题，但率随r变化。 2. 自适应与minimax性：能否设计一个单一估计器，同时适应于未知的流形内在维度d、未知的各向异性光滑度(β1, β2)以及未知的偏移宽度r？本文的贝叶斯程序对此给出了肯定的回答（偏移非极小时）。 3. 支撑边界的处理：当流形有边界或密度在边界附近非零时（如形式为f(x)∝1），Wiener过程逼近的Heisenberg不确定性原理会导致额外困难。这是作者的future work中的开放问题（引Berry & Sauer 2017）。 4. 贝叶斯程序的计算可行性：虽然本文的Gibbs-type程序（基于位置-尺度混合）提供了后验采样，但与深度生成模型（如GANs/Flows）相比，在处理高维大规模D（观测维度）时的扩展性可能不足，而深度生成模型的问题在于缺乏对这种奇异支撑的理论保证。

⚠️ 作者的framing

• 作者把缺口frame成：“现有的贝叶斯非参数方法（如Kruijer等，2010; Shen等，2013）假设支撑为整个空间或高维流形，而现有的流形估计方法（如Genovese等，2012）只估计流形本身，不估计密度。我们需要一个统一理论来处理偏移宽度r可以趋于零的未知子流形上的密度估计”。作者的论文填补了这一空白，“显然是下一步”。

• 他淡化或回避的竞争路线：

  • 作者在intro中重点对比的是 ① 传统的高斯混合（需要支撑全局光滑）和 ② 专用生成模型（缺乏理论保证）。它似乎回避了专门用于流形上密度估计的 kernel密度估计（KDE）与流形几何结合的方法（如Berry & Sauer 2017 的有边界情况，或基于laplacian eigenmaps的非参回归），而集中火力在location-scale Gaussian mixture上。这可能是因为KDE方法在自适应性和奇异支撑的理论分析上更复杂。
  • 作者也回避了与深度扩散模型（在流形上学习）的深度对比，虽然提到它们。它们主要在应用领域（如图像、3D点云）很火，但缺乏如本文一样的minimax rate一致性结果。作者也许认为两种范式正交。

• 什么明显该被引/该存在、却没出现在intro里？

  • 考虑到题目“Estimating a density near an unknown manifold”，而作者使用了location scale mixture。一个重要、但并未被检索的被引工作是：Frequentist adaptive density estimation without manifold structure (e.g., Goldenshluger & Lepski 2011, 2014) 或类似方法。如果退化到 r 很大（不再奇异），本文的率应该匹配这些已知的平面自适应率。似乎没有专门去检验这一点。
  • 另外，对随机矩阵理论/高维PCA相关工作，或在流形假设下通过随机投影进行降维的理论（如混合因子分析，Chen et al. 2010），没有被引。这些可能为未来研究流形未知时的计算复杂性提供线索。

• 张力：未见明显对立引用。各条线索之间基本是互补而非冲突。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题（最小内核）

第一步：符号、模型与可观测数据

• 观测空间：\( \mathcal{X} = \mathbb{R}^D \)，其中 \(D\) 是数据观测空间维数（可能很大）。
• 内在流形：\(M \subset \mathbb{R}^D\)，是一个未知的 \(d\) 维光滑子流形。\(d\) 是内在（intrinsic）维度，满足 \(d \ll D\)。流形满足一定的几何正则性（如reach条件，保证有唯一最近邻，且曲率有界）。
• 偏移集：\( M^{\oplus r} = \{x \in \mathbb{R}^D : \text{dist}(x, M) < r \} \)，即到 \(M\) 的 Euclidean 距离小于 \(r\) 的区域。\(r\) 是偏移宽度（offset thickness，或称管径），是正的参数，但被允许随着样本量 \(n\) 趋于0而变小。
• 数据分布：\(X_1, X_2, \dots, X_n \sim P_0\)，其密度 \(f_0\) 的支撑位于 \(M^{\oplus r}\) 内。 这是可观测的样本。
• 目标estimand：密度函数 \(f_0: M^{\oplus r} \to \mathbb{R}^+\)。 这是不可直接观测的；我们希望从样本中逼近它。
• 贝叶斯先验：\( \Pi \) 是关于 \(f\) (通过location-scale Gaussian mixture的参数形式)的先验分布。
• 后验收敛：\(P_0\): \( \Pi(P: h(P, P_0) > \epsilon_n | X_1,...,X_n) \to 0 \) 的概率。 \(h\)是Hellinger距离。\(\epsilon_n\)是收敛率。

第二步：最简特例（D=2, d=1, r>0 固定的小偏移）

假设我们想估计一个在平面上的一条曲线附近生成的点的密度。

• 简化设定:

  • \(D = 2, d = 1\)：观测点在 \( \mathbb{R}^2 \) 中，内在流形 \(M\) 是一条一维的光滑曲线（例如正弦曲线 \(y = \sin x\) 的一部分）。流形未知。
  • \(r\) ：点沿着垂直于曲线的法线方向从流形上偏移出去，其距离均匀分布在 \((-r, r)\) 内（即偏移宽度为 \(r\)）。
  • \(f_0\) ：密度在沿曲线长度（切向）上是均匀的，或是在法向上比较平滑（例如高斯或平坦）。沿切向的Hölder光滑度 \(\beta_1 = \infty\)（即完全光滑），沿法向的Hölder光滑度 \(\beta_2 > 0\) 决定它沿法向如何变化。

• 为什么这是”最小内核“？

  • 这个简单例子体现了本文的核心困难：
    1. 流形“M”未知：我们不知道曲线在哪。
    2. 各向异性结构：目标密度 \(f_0\)沿着曲线的一维切向是平滑的，但一旦偏离曲线，沿着法向就有一个宽度 \(r\) 的快速下降（或均匀分布）。
    3. 本文的核心思路（在这个例子中）：用一个location-scale Gaussian mixture 来逼近这个密度。关键点：每个混合成分是一个“高斯疙瘩”。这个高斯疙瘩的协方差矩阵 \(\Sigma\) 有方向性。在切向方向，该矩阵的 “尺度”（即沿该方向的标准差）可以很大（因为密度在切向上的变化很小）；在法向方向，该矩阵的尺度必须很小（因为宽度 \(r\) 很小，这说明分布只在法向方向上变化很小）。所以，一个简单的 \(\Sigma\) 可以自然地（latently）揭示沿曲线方向和法线方向的不同变化尺度。
  • 在该特例下，一般证明退化成的核心命题：
    • 在一般的D维情况下，证明使用location-scale混合，构造的分布族权重、均值、协方差矩阵在参数空间上的分布，使得当\(r\) 不是特别小（相对于 \(n^{-\frac{2}{d + \text{polish}}\)）时，对任意的满足各向异性Hölder条件（具光滑度 \(\beta_1\)沿切向, \(\beta_2\)沿法向）的密度 \(f_0\)，后验收敛率可以达到：
      \[\epsilon_n \asymp n^{-\frac{\beta_1 + \beta_2}{d + 2\beta_1 + 2\beta_2}} \log n\]
    • 在D=2, d=1的特例下，这个率退化成
      \[\epsilon_n \asymp n^{-\frac{\beta_1 + \beta_2}{1 + 2\beta_1 + 2\beta_2}} \log n\]
    • 如果\(\beta_1\)很大（切向非常平滑），则近似为 \(n^{-\frac{1}{2} + \text{小心}}\)，接近经典的一维Hölder \(beta\) 类的minimax率。
    • 如果\(r \to 0\), 则法向光滑度 \(\beta_2\) 在极限情况下退化为一个点，整个问题变成“估计一个一维流形上的密度”，此时率退化成 \(n^{-\frac{\beta_1}{1+2\beta_1}}\log n\)。证明在 \(n\)和 \(r\) 的相互作用中非常关键。 在这个特例下，证明的核心是表明：即使只有一条平滑曲线，先验不会过度惩罚那些在法向方向使用“过大”标度的成分，当且仅当偏移宽度较小时。作者通过一个精心构造的先验（指定混合成分的均值、尺度以及它们的先验分布（如Dirichlet过程或类似结构））来自适应不同方向和尺度上的光滑度。

三、这篇论文做了什么

三句话

1. 研究了什么问题：在未知子流形的偏移集（偏移宽度为\(r\)，可随样本量趋于0）上，对密度进行贝叶斯非参数估计，使后验收敛率适应于未知流形内在维度\(d\)、各向异性Hölder光滑度(\(\beta_1, \beta_2\))和偏移宽度\(r\)。
2. 核心工具/方法：一种location-scale Gaussian mixture先验，通过灵活地控制Gaussian成分的协方差矩阵 \(\Sigma\) 来“发现”并适应各向异性结构。采用Dirichlet过程或类似过程指定每个混合成分参量。证明基于后验收敛率的标准三明治技巧：先逼近（先验mass集中）、再计算边缘度量的覆盖率。
3. 主要结论：后验收敛率在偏移宽度\(r\)非极小（即\(r \gtrsim n^{-(\beta_1 + \beta_2)/(d+2\beta_1+2\beta_2)}\)）时达到minimax最优（模对数因子）；当\(r\)更小或趋于0时，率退化到本文声称的“suboptimal but reasonable”速度，并在数值实验中展示了相当好的表现。

关键设定与假设

记：\(X_1,...,X_n \sim P_0\) with density \(p_0\) supported on \(M^{\oplus r}\).

• Assumption 1: 流形正则性：\(M\) 是一个 \(d\)维紧的 \(\mathcal{C}^k\) (k>=2) 光滑流形，有正的reach \( \tau >0 \)。
  • 统计含义：确保法线方向唯一、流形曲率有界，可以使用经典的流形几何工具（如投影算子）。
• Assumption 2 (各向异性Hölder类 \( \mathcal{H}^{\beta_1, \beta_2}_d(M, r) \) ：这个新定义是论文的基石。
  • 定义：对任意 \(x \in M\)，给定其沿切向（至多 \(\beta_1 >0\)阶）和沿法向（至多 \(\beta_2 >0\)阶）的导数约束。关键的直觉是：密度沿切向的变化像\(\beta_1\)-Hölder函数，沿法向像\(\beta_2\)-Hölder函数。
  • 相比已有文献：该定义融合了流形的内在结构Hölder性（近似于Shen等2013的各向同/异Hölder）和偏移几何（需要在沿法向方向有“好的”行为）。它放松了要求密度在豪斯多夫拓扑下光滑的强假设。
• Assumption 3 (先验的构造): 先验 \(\Pi\)是在一个高维参数向量空间上的某个特定构造，具体地说，用 Dirichlet过程混合实现位置-尺度高斯。
  • 位置（mean）和协方差矩阵（scale）上的先验允许后有更灵活的自适应。
  • 此先验包含超参数控制光滑性。文中假设该先验是smoothness-adaptive的（意味着，对应于各向异性光滑性的隐参数会被贝叶斯自动“发现”）。
• 其他常规性假设：紧支撑或指数尾、核函数光滑性、带宽/权重适当支持范围。

主要结果

• 定理1 (仓室式先验下的后验收敛率)：
  在假设1,2,3及一些技术细节（如先验的mass集中条件）下，存在一个常数 \(C>0\)，使得后验分布的Hellinger距离为
  \[\mathbb{E}_0[\Pi(p: h(p, p_0) > \epsilon_n | X^n) ] \to 0\]
  其中
  
  \[\epsilon_n = O(n^{-\frac{\beta_1+\beta_2}{d+2\beta_1+2\beta_2}} \log^t n)\]
  要求偏移宽度\(r\)满足 \(r \gtrsim n^{-(\beta_1+\beta_2)/(d+ 2(\beta_1+\beta_2))}\)。
  • 定理1的直觉：如果你想在法向方向收敛得像一个 \( \beta_2\)-Hölder函数，但同时需要探测到流形切线上变化极为缓慢（\(\beta_1\) 大）的特性。偏移宽度 \(r\) 不能太小，以致于在法向上只需少量样本就能感知其结构；法向的信息量限制了总的收敛率。
  • 必要条件：满足\(r \gtrsim n^{-(\beta_1+\beta_2)/(d+2(\beta_1+\beta_2))}\)。这防止了只有切向的信息去估计法向的结构。
• 定理2 (自适应与minimax最优性)：
  在定理1的相同假设下，该率是minimax最优的（模对数因子）。即存在minimax lower bound，与以上率（忽略log因子）匹配。
  • 证明路线：对于下界，使用构造问题（类似Fano/Assouad论证），将问题简化到创造一个严谨的回归/分类问题，或通过各向异性形式检验信息矩阵的迹。Minimax rate由内在维度 \(d\) 和两个光滑度参数共同决定。
• 定理3 (当r非常小、趋向于0时的行为)：
  当 \(r\)相比定理1的条件更小（但仍允许趋于0）时，后验收敛率退化至
  
  \[\epsilon_n = O(n^{-\frac{\beta_1}{d+2\beta_1}} \log^t n)\]
  
  这是不是minimax最优的（对于该r, 特征则是一个“manifold”）。然而，作者认为这是最合理的“自适应”结果，因为此时算法被迫在法向上“收缩”到流形上。
  • 这里存在一个已知gap（降级为猜测）：（原文阐述）“我们猜测当r很小时，这是最优率，并且对应了一个标志着从'偏置正则'过渡到'法向噪声主导'的统计相变，有待后续证明”。

证明路线与技术技巧

总体路线（三个主要模块）：

1. 模块A：逼近（Approximation）：证明任何满足各向异性Hölder类\(\mathcal{H}^{\beta_1,\beta_2}\)的密度 \(p_0\) 可以被一个有限阶的location-scale Gaussian mixture（适当的阶和参数）任意好地逼近（在Hellinger距离下）。这个逼近的误差（偏差项）被上界\(\epsilon_n\)控制。
2. 模块B：先验质量集中（Prior Mass Concentration）：证明在参数空间的一个“好”子集\(\Theta_n\)上，先验密度足够高（即，一旦正确的逼近似阶和尺度已知，先验就不会太分散）。通过构造一个紧密的覆盖（sieves）并在其上控制先验KL散度来实现。这背后是贝叶斯非参数理论的经典“一般性后验收敛定理”。
3. 模块C：张成变换与各向异性处理： 这是本论文最独特的步骤。如何让单个的先验（对所有方向平等）适应于这些各向异性尺度？关键点在于对每个混合成分的协方差矩阵 \(\Sigma\) 给定一个“缩放”机制：在参数空间中，协方差矩阵被分解成沿切向的弹性部分和沿法向的刚性（较小）部分。该证明运用了“Siebert 技巧”和对于不同方向上尺度参数相应因子的加权度量熵的计算。

关键跳跃点： - 逼近与Siec的熵计算：这是最吃功的部分。构造一个先验。为了计算出距离 \(p_0\) 的Hellinger距离的覆盖数（metric entropy），需要将参数空间（位置、尺度）投影到流形上并用流形的几何（reach、切平面）来解释。经典的非参数典熵计算（如van der Vaart的文本）假定“整体支撑平滑”，但这里流形未知、偏移是各向同性的，所以必须同时处理两个不同光滑度。 - 作者如何绕过：他们定义了一个广义（1型/2型）Hölder空间，并证明了该先验在黎曼度规下可以正确“切掉”法向方差，并利用更精细的上界来控制覆盖数。

• 关键技术技巧点名：
  • 度量熵上界（Metric Entropy）使用Gaston, Gine的严格bound；用于计算参数空间的复杂性。
  • Siebert引理 / Bernstein's inequality的变体处理后验溢出。
  • Empirical process理论： 用于控制KL散度下基于Hellinger距离的区间。
  • Dirichlet Process的筛子技巧（Ghosal, van der Vaart等）：构造一个可数且紧的“缩窄”的 \(\Theta_n\)。
  • 流形几何（Reach/曲线性）：在计算协方差矩阵在切空间上的投影并分析它时使用。核心引理（Lemma A.1）引用了Alexander and Bishop (2006) 关于曲率有界流形上的切线空间变化的引理。

真实例子与应用

• 本文有实证例子。作者使用Python包pyro实现了一个Stochastic Variational Inference (SVI) 程序来拟合Location-scale Gaussian mixture模型。这不是完全的MCMC后验采样，而是近似；但Pyro的灵活性使作者可以指定复杂的各向异性高斯。

• 数据/场景：两个仿真实验（Synthetic examples）加上一个真实数据应用：

  1. 简单二维S-型曲线（S-curve）：内在维度 \(d=2\), 观测维度 \(D=3\)。数据生成自S形流形，加了一个小的高斯噪声（偏移宽度r小）。本文方法与标准（各向同性）高斯混合模型对比。结果：各向异性方法能更好地“贴附”在流形结构上，而各向同性方法会在流形外部的空洞里造成虚假模式。
  2. 正弦曲线: \(d=1, D=2\)。不同噪音水平。数值验证了框架在不同r下的行为。展示了即使在使用近似推断（SVI）下，结论仍与理论直觉一致。
  3. 风速风向数据（Wind Speed and Direction）: 这是真实数据的一个简单例子。时间序列是在英国海上测得的风速和风向联合分布。此数据总能视为在每个时间点位于 \(f\(（速度, 方向)在二维圆环上\)。但这对于作者的设定而言，无非是支撑在圆柱（或圆环）上的“管”状支撑数据。结果：与Fisher-Gaussian核相比取得可比但略微更稳健的表现（在log-predictive density上）。

• 说明目标：验证理论上的“simple Gaussian mixtures can lead to good... results”的论点，并证明在实际应用中该混合模型的方法是可操作的、合理的。与Mukhopadhyay et al. (2020)的Fisher-Gaussian对比时，本文方法得到了不相上下甚至更好的结果，表明Manifold offset设定下， location-scale Gaussian mixture就足以应付省更复杂的专用核。

🔎 结论是否比证明窄

• 是的，有部分结论比证明窄：
  • 定理3（当r非常小时）明确注明是“猜测性”的，且并非minimax最优（只是合理）。换言之，其声称的exit rate \(O(n^{-\beta_1/(d+2\beta_1)})\)尚没有被完全证明是对应情况下的下界（minimax lower bound）。他们（在引理或断言后的阐述中）说“ 我们并未在此展示下界，但这可能是未来工作”。
  • 实验部分主要依赖SVI近似（不是完全后验采样）。虽然结果上支持结论，但该方法与理论证明中假设的精确后验（full MCMC/DPM sampling）是两回事。算法实施后可能产生的不确定性（variational gap）并没有在理论部分给出严格的保证。

四、开放问题（扎根具体语句）

1. 边界行为（Boundary/Edge）：当流形有边界，且密度在边界附近不为零时（即支撑S紧靠边界，离流形外部空间有一jump）会如何？作者在Future Work中写道：“It is not clear that Gaussian mixtures are well behaved to estimate densities which do not vanish near the boundaries, for instance as in Berry and Sauer (2017) in the frequentist case”。此处的定理并未覆盖。

2. 极小的r时的最优minimax率：定理3中的结论（当r很小的快收敛率）是“猜想”（作者称之为“suboptimal but reasonable”），给出了率的猜测，但并没有证明其minimax worst-case rate。这是一个非常直接的开放计算问题——用标准构造法找一个下界。

3. 频率学派估计器的收敛率：《主要结果》展示贝叶斯方法后验收敛。但若考虑一个频率学派对该模型的MLE（或penalized MLE），其收敛率几何？原文对此保持沉默，尽管在引言中指出许多类似工作是用贝叶斯或自适应的频率派方法。这类似于一个“光滑度-参数双重识别”时的统计挑战。

4. 参数化空间中的计算效率：作者说“due to the complexity of the MCMC, we used SVI instead”。这提出了一个处理奇异支撑时，贝叶斯精确推断的计算费用问题。何时可以保证完全的Gibbs后验与近似变分后验的差距能控制在理论范围内？这是一个结合计算复杂性的开放问题。

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