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E-statistics, group invariance and anytime-valid testing

作者: Muriel Felipe Pérez-Ortiz, Tyron Lardy, Rianne de Heide, Peter D. Grünwald
来源: Annals of Statistics
主题: 数理统计 / 假设检验
相关性: 7/10
链接: 期刊页 · arXiv

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么 这个子方向要解决的根本统计问题是：在数据可以随时获取、分析者可以在任意停止时间下做出决策（optional stopping / continuation）的序列检验场景中，如何构造一种既保持 Type-I 错误控制、又在最坏情形下最大化证据增长率的检验指标。当前该方向正处于从基础概念确立（e-value / e-process 的数学性质）向具体模型结构（群不变性、半参数结构）下的最优性刻画过渡的阶段，理论框架已初步成型，但针对复合假设下特定结构的最优 e-statistic 构造仍处于 frontier 状态。

发展脉络 1. 奠基工作（序列检验与 anytime validity）：Robbins (1970) 与 Lai (1976) 最早考虑了 anytime validity，但长期未进入主流。经典 Neyman-Pearson 框架固定样本量，无法处理 optional stopping。 2. 概念重塑（e-value / 赌博语言 / safe testing）：Shafer (2019) 提出用赌博分数替代 p-value；Vovk and Wang (2019/2021) 系统定义 e-value 并证明其在多重检验中的合并优势（平均即保持有效性）；Grünwald, de Heide and Koolen (2020) 提出 GROW（最坏情形增长率最优）准则与 s-value，将最优 e-variable 刻画为联合信息投影（JIPr）对应的 Bayes factor，并在 t-test 中发现其对应右 Haar 先验——留下口子：该结论仅在特定例子中成立，一般群模型下是否保持、右 Haar 先验的非唯一性问题如何处理，未作理论回答。 3. 方法论扩展（非负鞅的普遍性与 e-process）：Ramdas et al. (2020) 证明所有容许的 anytime-valid 序列推断必须依赖非负鞅，确立了鞅的必要性；Ramdas et al. (2022) 系统综述 SAVI 框架，将 e-process 与 test martingale 统一。 4. 应用与多重检验（e-BH / derandomized knockoffs）：Wang and Ramdas (2020) 提出 e-BH，证明在任意依赖下无需校正即控制 FDR；Ren and Barber (2022) 利用 e-value 去随机化 knockoffs。 5. 本文的位置：在 GROW 准则与群不变模型之间搭桥——证明在满足 amenability 的群模型下，极大不变统计量的似然比在所有 e-statistic（含非不变量）中绝对与相对 GROW，且等价于右 Haar 先验 Bayes factor，同时绕开该先验在贝叶斯语境中的非唯一性。

子线索聚类 - 线索 A：e-value 的数学性质与合并规则（Vovk & Wang 2019; Wang & Ramdas 2020; Ren & Barber 2022）——聚焦 e-value 的定义、期望约束、在多重检验中的合并与 FDR 控制。 - 线索 B：SAVI 框架与鞅的普遍性（Ramdas et al. 2020, 2022; Shafer 2019）——聚焦 anytime-valid 推断的鞅表征、optional stopping 下的有效性、赌博解释。 - 线索 C：GROW 最优性与 Bayes factor 的等价性（Grünwald et al. 2020; Turner et al. 2021; Grünwald 2023）——聚焦复合假设下 GROW e-variable 的构造、JIPr 刻画、与 Bayes factor 的联系，以及在 t-test/列联表等具体模型中的实现。 - 线索 D：群不变性与右 Haar 先验的经典理论（Hall, Wijsman & Ghosh 1965; Berger & Sun 2008）——聚焦极大不变统计量的似然比结构、右 Haar 先验在 Bayes factor 中的作用、以及非唯一性问题。

核心追问与瓶颈 1. 复合假设下 GROW e-statistic 的显式构造：已知 JIPr 给出一般刻画，但计算 JIPr 常不可行；群模型下是否有更直接的构造？瓶颈在于缺乏对模型结构（如不变性）的利用。 2. 不变 e-statistic 是否足以达到全局 GROW：直觉上不变量应最优，但已有文献未排除非不变量可能更优的可能；瓶颈在于缺乏在全体 e-statistic 中的最优性证明。 3. 右 Haar 先验的非唯一性：Berger & Sun (2008) 指出在某些群（如多元正态）中右 Haar 先验不唯一，不同选择导致不同 Bayes factor；瓶颈在于贝叶斯框架内无法消解，需外部准则。

⚠️ 作者的 framing - 作者将缺口 frame 为：已有 GROW 理论（Grünwald et al. 2020）仅在特定例子中与右 Haar 先验联系，缺乏一般群模型下的理论；且右 Haar 先验的非唯一性在贝叶斯语境中是问题，但在 GROW 准则下可被绕开（因为极大不变统计量的似然比是唯一确定的，右 Haar 先验只是其一种等价表示）。 - 被淡化的竞争路线：半参数/非参数模型下的 e-process 构造（如 Waudby-Smith & Ramdas 2020 的赌博置信序列、Henzi et al. 2022 的 eHL 检验）——这些路线不依赖群结构，作者未讨论 GROW 准则在这些更一般模型中是否可达或是否有替代最优性概念。 - 明显该被引却未出现的：半参数效率理论（如 Stein 估计、影响函数）与群不变性的交叉文献（如 Chamberlain 1987 的无限制效率界与不变性）——如果 GROW e-statistic 在群模型下达到某种效率界，与半参数效率界的关系值得讨论，但 intro 未触及；另外，关于 amenability 在统计推断中角色的更早文献（如 Eaton 1989 的群不变性与充分性）也未出现，值得研究者去查。

张力 未见明显对立引用。各被引工作在不同设定下得出相容结论：Ramdas et al. (2020) 证明鞅的必要性，Grünwald et al. (2020) 在 GROW 准则下给出 JIPr 刻画，Berger & Sun (2008) 指出右 Haar 先验的非唯一性——本文统一了这些线索，未出现彼此矛盾的条件或结论。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：符号、模型、可观测数据交代清楚

  • \(X^n = (X_1, \ldots, X_n)\)：观测样本，取值于样本空间 \(\mathcal{X}^n\)。
  • \(G\)：一个局部紧拓扑群，作用于 \(\mathcal{X}^n\) 上（左作用 \(g \cdot x\)）。
  • \(\Theta\)：参数空间，\(G\) 通过右作用作用于 \(\Theta\)（\(g \mapsto \theta \cdot g\)），使得 \(P_{\theta \cdot g}(g \cdot X) = P_\theta(X)\)，即模型在 \(G\) 下不变。
  • \(\mathcal{P}_0\)：原假设分布族，\(\mathcal{P}_0 = \{P_\theta : \theta \in \Theta_0\}\)，其中 \(\Theta_0\) 是 \(\Theta\) 的一个 \(G\)-轨道（orbit），即 \(\Theta_0 = \{\theta_0 \cdot g : g \in G\}\) 对某固定 \(\theta_0\)。
  • \(\mathcal{P}_1\)：备择假设分布族，\(\Theta_1\) 是另一个 \(G\)-轨道。
  • \(M_n = m_n(X^n)\)：极大不变统计量，满足 \(m_n(g \cdot x) = m_n(x)\) 对所有 \(g \in G\)，且若 \(m_n(x) = m_n(x')\) 则存在 \(g\) 使 \(x' = g \cdot x\)。
  • \(E_n(X^n)\)：e-statistic，满足 \(E_n \geq 0\) 且 \(\sup_{\theta \in \Theta_0} \mathbb{E}_{P_\theta}[E_n] \leq 1\)。
  • GROW 准则：绝对 GROW 为 \(\sup_{E \in \mathcal{E}} \inf_{\theta \in \Theta_1} \mathbb{E}_{P_\theta}[\log E_n]\)，其中 \(\mathcal{E}\) 为所有 e-statistic；相对 GROW 为 \(\sup_{E \in \mathcal{E}} \inf_{\theta \in \Theta_1} \mathbb{E}_{P_\theta}[\log E_n] / \inf_{\theta \in \Theta_0} \mathbb{E}_{P_\theta}[\log E_n]\)（后者在 \(\Theta_0\) 下为负，故比值为正）。
  • 可观测数据：研究者观测到 \(X^n\)，其分布由 \(P_\theta\) 生成，\(\theta\) 未知但属于 \(\Theta_0\) 或 \(\Theta_1\)。极大不变统计量 \(M_n\) 可从 \(X^n\) 计算得出（如样本均值与方差的某种组合）。群元素 \(g\) 本身不可观测，只能通过其对数据的作用间接体现。
  • 不可观测 / 需假设识别：具体参数 \(\theta\) 不可观测（因模型在群作用下不变，\(\theta\) 与 \(\theta \cdot g\) 生成相同分布）；群结构 \(G\) 与其 amenability 性质是模型假设，需由研究者设定。

第二步：最小内核——scale-location 族的一维特例

取最简特例：一维正态分布的 scale-location 群，\(X_i \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\)，\(G = \mathbb{R} \times \mathbb{R}_{>0}\)（平移 \(\times\) 缩放），作用为 \(g = (a, b) \cdot x = a + bx\)。此时： - \(\Theta_0\)：所有 \((\mu, \sigma)\) 的轨道（如 \(\mu = 0, \sigma = 1\) 生成的全体正态）。 - \(\Theta_1\)：另一轨道（如 \(\mu = \mu_1 \neq 0, \sigma = \sigma_1\) 生成的全体正态）。 - 极大不变统计量 \(M_n\)：学生化统计量 \(T_n = \sqrt{n} \bar{X}_n / S_n\)（其中 \(\bar{X}_n\) 为样本均值，\(S_n\) 为样本标准差），因为平移和缩放不改变 \(T_n\) 的值。 - \(M_n\) 的似然比：\(p_{\theta_1}(T_n) / p_{\theta_0}(T_n)\)，其中 \(p_\theta\) 是 \(T_n\) 在 \(P_\theta\) 下的密度（非中心 t 分布密度比中心 t 分布密度）。

核心命题（在此特例下退化成什么）：在所有满足 \(\mathbb{E}_{P_\theta}[E_n] \leq 1\) 对所有 \(\theta \in \Theta_0\) 的非负函数 \(E_n(X^n)\) 中（不要求 \(E_n\) 是不变量），\(T_n\) 的似然比 \(p_{\theta_1}(T_n) / p_{\theta_0}(T_n)\) 达到 \(\inf_{\theta \in \Theta_1} \mathbb{E}_{P_\theta}[\log E_n]\) 的最大值（绝对 GROW），且也达到相对 GROW。

为什么成立（证明直觉）： 1. 不变性不损失增长率：对任意 e-statistic \(E_n(X^n)\)，构造其不变化版本 \(\bar{E}_n(M_n) = \int_G E_n(g \cdot X^n) \, d\mu_R(g)\)（\(\mu_R\) 为右 Haar 测度）。由 amenability（此处 \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_{>0}\) 是 amenable 的），该积分不引入额外增长率损失：\(\inf_{\theta \in \Theta_1} \mathbb{E}_{P_\theta}[\log \bar{E}_n] \geq \inf_{\theta \in \Theta_1} \mathbb{E}_{P_\theta}[\log E_n]\)。 2. 极大不变统计量的似然比在不变 e-statistic 中 GROW：这是经典结果（Hall, Wijsman & Ghosh 1965）的 GROW 版本——在不变 e-statistic 中，似然比达到最坏情形增长率最大，因为任何不变量都可表为 \(M_n\) 的函数，而似然比在该函数类中优化了 \(\inf_{\theta \in \Theta_1} \mathbb{E}_{P_\theta}[\log f(M_n)]\)。 3. 结合 1 与 2：全局 GROW 在不变量中已达，而不变量不劣于非不变量，故似然比是全局 GROW。

关键难点：步骤 1 需要 amenability——若 \(G\) 非 amenable（如旋转群 \(SO(3)\)），右 Haar 测度的平均化可能引入增长率损失，因为 \(\inf_{\theta \in \Theta_1}\) 下的积分与测度选择交互，无法保证不变化后不劣于原 e-statistic。Amenability 保证存在某种"公平"的平均方式（Følner 序列），使得最坏情形增长率不被稀释。

三、这篇论文做了什么

三句话 ① 研究了群不变模型下两个轨道假设之间的 GROW e-statistic 构造问题；② 核心工具是极大不变统计量的似然比与群的 amenability 性质；③ 主要结论：在 amenable 群下，极大不变统计量的似然比在全体 e-statistic 中绝对与相对 GROW，且等价于右 Haar 先验 Bayes factor，同时绕开该先验的非唯一性。

关键设定与假设

在第二节记号基础上补全：

  • 假设 1（群模型设定）：\(\mathcal{P} = \{P_\theta : \theta \in \Theta\}\) 是 \(G\)-不变模型，即 \(P_{\theta \cdot g}(g \cdot X) = P_\theta(X)\)。\(\Theta_0\) 与 \(\Theta_1\) 是 \(\Theta\) 的两个不同 \(G\)-轨道。统计含义：原假设与备择假设都是"同一轨道内的所有参数"，即复合假设，且群作用将轨道内参数联系起来——这是经典群不变检验设定（如检验均值是否为零，方差任意）。
  • 假设 2（极大不变统计量存在）：存在 \(M_n = m_n(X^n)\) 为极大不变统计量。条件：\(G\) 在 \(\mathcal{X}^n\) 上的作用是"proper and free"的（或满足 Wijsman 的正则条件）。统计含义：数据可被分解为 \((M_n, G\text{-部分})\)，\(M_n\) 捕获所有不变信息，\(G\)-部分捕获轨道内参数信息。
  • 假设 3（Amenability）：\(G\) 是 amenable 群。定义：存在 Følner 序列 \(\{F_k\}\)（有限子集，满足 \(|g F_k \setminus F_k| / |F_k| \to 0\) 对所有 \(g \in G\)）。等价条件：存在左不变平均。统计含义：允许在 \(G\) 上进行"不稀释最坏情形增长率"的平均化操作。实例：\(\mathbb{R}^d\)、\(\mathbb{R}_{>0}\)、它们的直积、有限群、可解群；非实例：\(SO(3)\)、\(GL(n, \mathbb{R})\) (\(n \geq 2\))、非平凡紧群。
  • 假设 4（轨道假设的结构）：\(\Theta_0\) 与 \(\Theta_1\) 是单轨道（single orbit）。相比已有文献（Grünwald et al. 2020 允许更一般的复合假设），这是强化——限制了假设必须是"同一轨道"，但允许轨道内参数任意（复合性体现在群作用的不确定性）。
  • 假设 5（密度存在与正则性）：\(M_n\) 在 \(P_\theta\) 下有密度 \(p_\theta^{(M)}\)，且似然比 \(p_{\theta_1}^{(M)} / p_{\theta_0}^{(M)}\) 有界或满足可积条件。这是技术假设，保证 GROW 问题的解存在。

主要结果

  • 定理 1（绝对 GROW）：设 \(G\) amenable，\(\Theta_0, \Theta_1\) 为单轨道，\(M_n\) 为极大不变统计量。则在所有 e-statistic \(E_n\)（满足 \(\sup_{\theta \in \Theta_0} \mathbb{E}_{P_\theta}[E_n] \leq 1\)，\(E_n \geq 0\)）中，\(E_n^* = p_{\theta_1}^{(M)}(M_n) / p_{\theta_0}^{(M)}(M_n)\) 达到 \(\inf_{\theta \in \Theta_1} \mathbb{E}_{P_\theta}[\log E_n]\) 的最大值。
  • 直觉：不变化不损失增长率（amenable 保证）+ 似然比在不变量中 GROW（经典结果）= 全局 GROW。
  • 必要条件：amenable 是本质的——文中指出若 \(G\) 非 amenable，不变化可能损失增长率，似然比不再全局 GROW（但仍是不变 e-statistic 中的 GROW）。

  • 技术难点：证明不变化不损失增长率，即 \(\inf_{\theta \in \Theta_1} \mathbb{E}_{P_\theta}[\log \bar{E}_n] \geq \inf_{\theta \in \Theta_1} \mathbb{E}_{P_\theta}[\log E_n]\)，需要 amenability 保证 Følner 序列的平均化在最坏情形下不稀释。

  • 定理 2（相对 GROW）：在同样设定下，\(E_n^*\) 也达到相对 GROW（\(\inf_{\theta \in \Theta_1} \mathbb{E}_{P_\theta}[\log E_n] / \inf_{\theta \in \Theta_0} \mathbb{E}_{P_\theta}[\log E_n]\) 的最大值）。

  • 直觉：绝对 GROW + 似然比在 \(\Theta_0\) 下的增长率固定（因 \(\Theta_0\) 是单轨道，似然比在 \(\Theta_0\) 下的期望为 1，\(\mathbb{E}_{P_\theta}[\log E_n^*]\) 对 \(\theta \in \Theta_0\) 为常数）= 相对 GROW 自动满足。

  • 定理 3（与右 Haar 先验 Bayes factor 的等价性）：\(E_n^* = \int_G p_{\theta_1 \cdot g}(X^n) \, d\mu_R(g) / \int_G p_{\theta_0 \cdot g}(X^n) \, d\mu_R(g)\)，其中 \(\mu_R\) 为右 Haar 测度。

  • 统计含义：GROW e-statistic 可用右 Haar 先验的 Bayes factor 计算，但不依赖右 Haar 先验的唯一性——因为 \(E_n^*\) 由极大不变统计量唯一确定，右 Haar 测度只是其一种积分表示；不同右 Haar 测度（若存在）给出相同 \(E_n^*\)（因积分结果等价于 \(M_n\) 的似然比）。

  • 相比已有文献的推进：Berger & Sun (2008) 指出右 Haar 先验非唯一导致 Bayes factor 非唯一；本文证明在 GROW 准则下，这种非唯一性不影响 e-statistic 的值——因为 GROW 锁定了唯一的 \(E_n^*\)，右 Haar 先验只是计算工具。

  • 推论（Anytime-valid test）：基于 \(E_n^*\) 构造的 test martingale \((\prod_{i=1}^k E_i^*)_{k \geq 1}\)（若序列检验中每步用独立样本的 \(E_i^*\)）是非负鞅，满足 Ville 不等式，从而在任何停止时间下控制 Type-I 错误。

证明路线与技术技巧

  • 整体路线：
  • 定义 GROW 问题：在全体 e-statistic \(\mathcal{E}\) 上优化 \(\inf_{\theta \in \Theta_1} \mathbb{E}_{P_\theta}[\log E_n]\)。
  • 不变化操作：对任意 \(E_n \in \mathcal{E}\)，构造 \(\bar{E}_n(M_n) = \int_G E_n(g \cdot X^n) \, d\mu_R(g)\)，证明 \(\bar{E}_n \in \mathcal{E}\)（仍是 e-statistic）且 \(\inf_{\theta \in \Theta_1} \mathbb{E}_{P_\theta}[\log \bar{E}_n] \geq \inf_{\theta \in \Theta_1} \mathbb{E}_{P_\theta}[\log E_n]\)。
  • 在不变 e-statistic 中求解 GROW：利用极大不变统计量的结构，将问题化为 \(f(M_n)\) 的优化；由似然比的性质（在 \(\Theta_0\) 下期望为 1，在 \(\Theta_1\) 下最大化 \(\inf\) 期望对数），证明 \(f^* = p_{\theta_1}^{(M)} / p_{\theta_0}^{(M)}\) 是解。
  • 结合 2 与 3：全局 GROW = 不变 GROW = 似然比。

  • 等价性证明：用 Wijsman (1967) 的定理，将极大不变统计量的似然比表示为右 Haar 先验的 Bayes factor。

  • 关键跳跃点：

  • 引理：不变化不损失增长率（步骤 2）。这是全文最吃功夫的地方。难点在于：\(\inf_{\theta \in \Theta_1} \mathbb{E}_{P_\theta}[\log \int_G E_n(g \cdot X^n) \, d\mu_R(g)]\) 与 \(\inf_{\theta \in \Theta_1} \mathbb{E}_{P_\theta}[\log E_n(X^n)]\) 的比较——积分在对数内部，\(\inf\) 在外部，一般情形下 Jensen 不等式方向不利（\(\mathbb{E}[\log \int] \leq \log \mathbb{E}[\int]\)，但 \(\inf\) 逆转不等式方向不可控）。作者利用 amenability 构造 Følner 序列的离散平均逼近，将连续积分化为有限平均，再利用 \(\inf\) 下的凸性/线性结构控制不等式方向。

  • 似然比在不变量中的 GROW 性（步骤 3）：这部分依赖经典结果（Hall, Wijsman & Ghosh 1965 的 PI 最优性），但需适配 GROW 准则（优化 \(\inf \mathbb{E}[\log]\) 而非 \(\inf\) 功效函数）。作者用凸分析（\(\log\) 的凸性 + e-statistic 的线性约束 \(\mathbb{E}_{P_\theta}[E_n] \leq 1\)）将 GROW 问题化为对偶问题，解为似然比。

  • 技术技巧点名：

  • Følner 序列与 amenability：用于构造不变化操作，保证平均化不稀释最坏情形增长率。具体用在步骤 2 的引理证明中，将 \(\int_G\) 逼近为 \(\frac{1}{|F_k|} \sum_{g \in F_k}\)，利用 \(|g F_k \setminus F_k| / |F_k| \to 0\) 控制误差。
  • 凸对偶 / Lagrange 对偶：用于步骤 3，将 GROW 优化（\(\sup \inf \mathbb{E}[\log E_n]\)）化为对偶问题，解为似然比。类似 Grünwald et al. (2020) 的 JIPr 刻画，但在不变量子类中更直接。
  • Wijsman 的极大不变似然比表示定理：用于步骤 5，将 \(p_{\theta_1}^{(M)} / p_{\theta_0}^{(M)}\) 表示为右 Haar 先验 Bayes factor。这是经典工具，本文直接引用。
  • 鞅构造 / Ville 不等式：用于 anytime-valid 推论，将 \(E_n^*\) 的乘积化为 test martingale，保证在任意停止时间下的 Type-I 控制。标准 SAVI 工具（Ramdas et al. 2020）。

真实例子与应用

  • 例子 1：一维正态的 scale-location 检验（即第二节的最简特例）。数据：\(X^n \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\)，\(\Theta_0 = \{\mu = 0, \sigma > 0\}\)，\(\Theta_1 = \{\mu = \mu_1 \neq 0, \sigma > 0\}\)。极大不变统计量 \(T_n = \sqrt{n} \bar{X}_n / S_n\)。GROW e-statistic 为非中心 t 与中心 t 的密度比。右 Haar 先验为 \(d\mu_R(\mu, \sigma) = d\mu / \sigma\)（平移 + 缩放的右 Haar 测度）。本文方法用上去：直接计算 \(T_n\) 的似然比，或等价地用右 Haar 先验积分计算 Bayes factor。结果：与 Grünwald et al. (2020) 在 t-test 中的 GROW s-value 一致，但本文给出理论解释（为什么右 Haar 先验出现，且不依赖其唯一性）。
  • 例子 2：有限维线性回归。数据：\((Y_i, X_i) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^d\)，模型 \(Y_i = X_i^\top \beta + \epsilon_i\)，\(\epsilon_i \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)\)。群 \(G = \mathbb{R}^d \times \mathbb{R}_{>0}\)（平移 \(\beta\) + 缩放 \(\sigma\)）。假设 \(\Theta_0 = \{\beta = 0, \sigma > 0\}\) vs \(\Theta_1 = \{\beta = \beta_1, \sigma > 0\}\)。极大不变统计量为某种学生化回归系数。GROW e-statistic 为其似然比。本文证明此设定下 \(G\) amenable，定理适用。
  • 本文为纯理论 / 无模拟实验：文中未含模拟比较或真实数据分析，仅给出理论结果与上述两个解析例子。

🔎 结论是否比证明窄 - 文中 claim "our results also apply to finite-dimensional linear regression"，但证明中线性回归的群 \(G = \mathbb{R}^d \times \mathbb{R}_{>0}\) 是 amenable 的验证未显式给出（只说"obvious"），且假设 \(\Theta_0, \Theta_1\) 为单轨道限制了回归中只能检验 \(\beta\) 是否等于特定值（而非更一般的子空间假设）——这是条件 \(\Theta_0, \Theta_1\) 为单轨道下的严格结论，但 claim 的语气更泛。 - 文中 conjecture（非严格 claim）非 amenable 群下不变量可能不再全局 GROW，但未给出反例或部分证明——这是开放方向，不应视为已证结论。

四、开放问题（点到为止，扎根具体语句）

  1. 非 amenable 群下的 GROW 结构：若 \(G\) 非 amenable（如 \(SO(3)\)、\(GL(n, \mathbb{R})\)），不变化是否必然损失增长率？全局 GROW e-statistic 是否存在、是否仍为似然比？扎根在文中 "If the group is not amenable, the invariantization may not preserve the growth rate"（第三节讨论）。
  2. 多轨道假设 / 子空间假设：当前定理要求 \(\Theta_0, \Theta_1\) 为单轨道；线性回归中检验 \(\beta \in V_0\) vs \(\beta \in V_1\)（子空间，非单轨道）时，GROW e-statistic 是什么？扎根在假设 4 的限制与 "our results also apply to finite-dimensional linear regression" 的窄适用范围。
  3. 半参数 / 非参数群模型的 GROW：本文限于参数群模型（密度存在、轨道结构清晰）；半参数模型（如部分识别、无限维 nuisance）下，群不变性与 GROW 如何交互？扎根在 intro 未触及半参数文献的缺口（研究者可查 Chamberlain 1987 与半参数效率界的交叉）。
  4. 序列设定下的适应性 GROW：定理给出固定 \(n\) 下的 GROW；序列检验中 \((E_k^*)_{k \geq 1}\) 的乘积是否在序列 GROW 准则（\(\sup \inf \mathbb{E}[\log \prod E_k^*]\)）下最优？扎根在 anytime-valid 推论仅保证有效性，未证序列 GROW 最优性。

要确认某条是否真 gap，去读同子领域近期约 5 篇的 intro——都指向非 amenable 群或半参数扩展 = 共识（真 gap）；仍在单轨道参数群内打磨 = 机会已过。

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