Confidence on the focal: conformal prediction with selection-conditional coverage¶
作者: Ying Jin, Zhimei Ren
来源: Journal of the Royal Statistical Society Series B
主题: 数理统计 / 假设检验
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一、领域脉络与小综述¶
这个方向是什么 这个子方向要解决的根本问题是：数据驱动选择后的不确定性量化与推断。在科学发现与决策流程中，研究者往往不是对随机抽取的一个个体做预测，而是先用算法（如挑预测值最大的 top-K、挑预测集最窄的、挑符合某 FDR 程序的）从大量候选中筛出“焦点单元”，再对它们做预测或推断。如果直接套用保证边际覆盖的常规预测集，选择偏差会使得焦点单元的实际覆盖概率远低于名义水平。当前该方向正处于从“特定模型/特定选择规则的渐近修正”向“分布无关、有限样本精确、任意置换不变选择规则通用框架”的成熟期过渡。
发展脉络 1. 奠基工作（参数/半参 post-selection inference）：早期工作依赖强模型假设。Berk et al. (2013) 提出 POSI 框架，通过同时推断所有子模型系数来提供普遍有效的 post-selection 区间，但代价是区间过宽。Lee et al. (2016) 与 Tibshirani et al. (2014) 开创了“条件选择性推断”，在 Lasso 等特定选择事件下，利用估计量的正态性与选择事件的仿射约束，导出精确的条件分布。作者在 intro 中指出，这类方法“通常利用特定问题结构，如估计量的线性与分布”（引用句：Methods for this goal usually leverage specific problem structures such as linearity and distribution of the estimators (Zhong and Prentice, 2008; Lee et al., 2016...)），留下了“无分布假设下如何做”的口子。 2. 主要进展（渐近修正与 Winner's curse）：为了放宽正态性假设，Tian & Taylor (2015) 与 Markovic et al. (2017) 将选择性推断推向渐近情形；Andrews et al. (2018) 针对“选最优”的 Winner's curse 给出条件有效置信区间。作者指出，这些渐近方法仍受限于特定结构与渐近逼近，有限样本下无保证。 3. 当前 frontier（Conformal 路径的 selective inference）：近两年，Conformal prediction 被引入选择场景。Bates et al. (2021) 与 Jin & Candès (2023b) 用 conformal p-values 做异常检测与选择，控制 FDR；Bao et al. (2024) 提出 FCR 控制的 selective conformal prediction，但作者明确指出其局限：“作为特例，我们仅能恢复 Bao et al. (2024) 在测试数据 top-K 选择下的方法，并为他们尝试的其他基于排序的选择方法提供有效解”（引用句：As a special case, we recover the method of Bao et al. (2024) for top-K selection among test data, and provide valid solutions to other ranking-based selection methods attempted in their work）。这表明 Bao et al. 的框架在非 top-K 或非等变分类器下失效，构成了本文的直接切入点。 4. 本文的位置：本文将 Mondrian Conformal Prediction 推广至多测试单元与非等变分类器，在“选择规则对校准集置换不变”这一宽泛假设下，实现了任意选择规则下条件覆盖的有限样本精确性，填补了上述从特定结构/特定选择向通用框架的缺口。
子线索聚类 - 线索 A：参数/半参条件选择性推断：Lee et al. (2016); Markovic et al. (2017); Reid et al. (2017); Andrews et al. (2018)。这一簇在正态/渐近正态与仿射选择事件下，推导条件分布，构造精确/渐近有效的置信区间。 - 线索 B：Conformal 选择与多重检验：Bates et al. (2021); Jin & Candès (2023b); Liang et al. (2022); Bashari et al. (2024)。这一簇用 conformal p-values/e-values 做异常检测或 FDR 控制，关注的是“选哪些单元”，而非选完后的预测集覆盖。 - 线索 C：Conformal 选择性预测集（FCR/条件覆盖）：Bao et al. (2024); Xu et al. (2022); Weinstein & Ramdas (2020)。这一簇关注选完后的预测集构造，Bao et al. 尝试了 FCR 控制与条件覆盖，但在非等变分类器与多测试单元下受阻；Xu et al. 用 e-values 做 FCR，但依赖 e-CI 的特殊结构。
这个方向在追问的核心问题 1. 选择后条件覆盖的可实现性：给定任意数据驱动选择规则，能否构造预测集，使得 \(P(Y \in C(X) \mid \text{selected}) = 1-\alpha\) 在有限样本下精确成立，而非仅渐近或边际成立？ 2. 选择规则的通用性：条件覆盖能否不依赖选择规则的具体结构（如仿射约束、等变性），而是仅依赖一个温和的置换不变性？ 3. 计算可行性：即使理论上通用，对于 top-K、基于 conformal p-value 的选择等现实规则，能否高效算出预测集，而非陷入不可行的组合计算？
⚠️ 作者的 framing - 作者把缺口 frame 成什么：作者将现有工作分为两类：一类依赖特定问题结构（正态性、线性、仿射选择），另一类（Bao et al. 2024）虽用 conformal 但受限于等变分类器与单测试单元。作者将自己定位为“显然的下一步”：只需假设选择规则对校准集置换不变，即可统一解决所有现实选择规则的条件覆盖。 - 哪些竞争路线被他淡化或回避了：作者淡化了半参数有效推断路线（如 Chernozhukov et al. 2015 的正交化/Debiased ML 路径），这条路线虽不保证有限样本精确覆盖，但在高维设定下能提供渐近有效估计，而本文的 conformal 路径在高维下可能因校准集样本量不足而区间过宽。此外，作者未讨论 e-value 路线（Xu et al. 2022）在条件覆盖下的潜力，仅将其归入 FCR 控制。 - 什么明显该被引/该存在、却没出现在 intro 里：高维半参数 post-selection 估计（如 Belloni et al. 的 double selection Lasso）未被引；这些工作在 \(p \gg n\) 下做选择后点估计与置信区间，与本文的预测集目标不同但问题同源，值得研究者去查其与 conformal 路径的互补或冲突。
张力 未见明显对立引用。各路线在不同假设下给出不同保证（参数路线给渐近有效点估计，conformal 路线给有限样本预测集覆盖），目标不同，暂无直接矛盾。
二、最核心、最简单的例子 / 数学问题¶
第一步：符号、模型、可观测数据交代清楚 - 符号与 estimand： - \(\mathcal{I}_{\text{cal}} = \{1, \ldots, n\}\)：校准集索引，样本量 \(n\)。 - \(\mathcal{I}_{\text{test}} = \{n+1, \ldots, n+m\}\)：测试集索引，测试单元数 \(m\)。 - \((X_i, Y_i)\)：第 \(i\) 个单元的协变量与潜在结果。对校准集，\((X_i, Y_i)\) 均可观测；对测试集，\(X_i\) 可观测，\(Y_i\) 不可观测（是要预测的目标）。 - \(S(x, y)\)： conformity score 函数，由预训练模型 \(\hat{\mu}, \hat{\sigma}\) 等确定（如 \(S(x, y) = |y - \hat{\mu}(x)| / \hat{\sigma}(x)\)），视为固定函数。 - \(V_i = S(X_i, Y_i)\)：第 \(i\) 个单元的 conformity score。校准集上 \(V_i\) 可观测，测试集上 \(V_i\) 不可观测（因 \(Y_i\) 未知）。 - \(\hat{C}_\alpha(X_i)\)：对测试单元 \(i\) 构造的预测集，目标 estimand 是其条件覆盖概率 \(P(Y_i \in \hat{C}_\alpha(X_i) \mid E)\)，其中 \(E\) 是选择事件。 - \(E\)：选择事件，由选择规则 \(\mathcal{A}\) 作用于 \((X_{\text{test}}, V_{\text{cal}})\) 产生。 - 模型（数据生成机制）： - 假设 \((X_1, Y_1), \ldots, (X_{n+m}, Y_{n+m})\) i.i.d. 服从某未知分布 \(P_{XY}\)。无任何参数或分布族假设。 - 预训练模型 \(\hat{\mu}, \hat{\sigma}\) 在一独立训练集上拟合，视为固定。因此 \(S(x, y)\) 是固定函数，\(V_i\) 的 i.i.d. 性质继承自 \((X_i, Y_i)\)。 - 可观测数据： - 校准集：\((X_i, Y_i)\) 对 \(i \in \mathcal{I}_{\text{cal}}\) 全部可观测，从而 \(V_i\) 可观测。 - 测试集：仅 \(X_i\) 对 \(i \in \mathcal{I}_{\text{test}}\) 可观测；\(Y_i\) 与 \(V_i\) 不可观测，需靠 \(X_i\) 与校准集的 \(V_{\text{cal}}\) 去预测/推断。 - 选择事件 \(E\)：由规则 \(\mathcal{A}\) 作用于可观测的 \(X_{\text{test}}\) 与 \(V_{\text{cal}}\) 决定，因此 \(E\) 本身是可观测的事件。
第二步：最小内核——Top-1 选择下的精确条件覆盖 剥掉所有一般性设定（多测试单元、非等变分类器、复杂选择规则），考虑最简特例：\(m=1\)（单个测试单元 \(n+1\)），选择规则为“选预测值最大的 top-1”，score 函数为残差绝对值 \(S(x, y) = |y - \hat{\mu}(x)|\)。
- 问题退化成什么：我们要构造 \(\hat{C}_\alpha(X_{n+1})\)，使得
\[P(Y_{n+1} \in \hat{C}_\alpha(X_{n+1}) \mid \hat{\mu}(X_{n+1}) \geq t) = 1 - \alpha,\]其中 \(t\) 是某个阈值（如校准集上某分位数），选择事件 \(E = \{\hat{\mu}(X_{n+1}) \geq t\}\) 仅依赖 \(X_{n+1}\) 与校准集，不依赖 \(Y_{n+1}\)。
- 常规 conformal 为什么失效：常规 split conformal 构造 \(\hat{C}_\alpha(X_{n+1}) = \{y : |y - \hat{\mu}(X_{n+1})| \leq Q_{1-\alpha}(V_{\text{cal}})\}\)，保证边际覆盖 \(P(Y_{n+1} \in \hat{C}_\alpha) \geq 1-\alpha\)。但条件于 \(\hat{\mu}(X_{n+1}) \geq t\) 时，\(X_{n+1}\) 的分布偏向高预测值区域，若该区域噪声更大（异方差），残差 \(V_{n+1}\) 倾向更大，\(Q_{1-\alpha}(V_{\text{cal}})\) 作为全局分位数可能不够宽，导致条件覆盖 \(< 1-\alpha\)。
- 本文怎么破（最小内核证明路线）：
- 置换不变性：在 top-1 选择下，选择事件 \(E = \{\hat{\mu}(X_{n+1}) \geq t\}\) 不涉及校准集 \(V_{\text{cal}}\) 的排序，因此对 \(V_{\text{cal}}\) 的任意置换 \(\pi\)，\(E\) 不变。更一般地，若 \(E\) 依赖校准集的分位数（如 \(t = Q_{\beta}(V_{\text{cal}})\)），因分位数本身是置换不变的，\(E\) 仍对 \(V_{\text{cal}}\) 置换不变。
- 条件分位数的精确性：因 \((V_1, \ldots, V_n, V_{n+1})\) i.i.d.，且 \(E\) 仅依赖 \((X_{n+1}, V_{\text{cal}}\) 的置换不变统计量)，条件于 \(E\) 下，\(V_{n+1}\) 在联合排序中的秩仍均匀分布。具体地，令 \(Q_{1-\alpha}^-(V_{\text{cal}})\) 为校准集 score 的 \(\lceil (1-\alpha)(n+1) \rceil / (n+1)\) 分位数，则
\[P(V_{n+1} \leq Q_{1-\alpha}^-(V_{\text{cal}}) \mid E) \geq 1 - \alpha.\]这是因为条件于 \(E\) 与 \(V_{\text{cal}}\) 的置换不变统计量，\((V_1, \ldots, V_{n+1})\) 的秩仍对称，\(V_{n+1}\) 落入前 \(1-\alpha\) 分位的概率精确为 \(1-\alpha\)（有限样本，无渐近逼近）。
- 预测集构造：取 \(\hat{C}_\alpha(X_{n+1}) = \{y : S(X_{n+1}, y) \leq Q_{1-\alpha}^-(V_{\text{cal}})\}\)，即用校准集 score 的修正分位数做阈值。因 \(E\) 置换不变，上述秩论证精确成立，条件覆盖严格等于 \(1-\alpha\)（或 \(\geq 1-\alpha\)，取决于分位数的取整）。
这个最小内核揭示了本文的核心洞见：只要选择事件 \(E\) 对校准集 score 置换不变，常规 conformal 的秩论证在条件分布下依然成立，从而无需知道 \(E\) 的具体结构，即可用校准集分位数构造精确条件覆盖预测集。一般情形的证明只是在这个秩论证上加壳：处理多测试单元（秩变为多维排序）、非等变 score（需修正分位数定义）、更复杂的 \(E\)（需验证置换不变性）。
三、这篇论文做了什么¶
三句话 ①研究了数据驱动选择规则选出焦点单元后，如何构造具有有限样本精确条件覆盖的预测集；②核心工具是推广 Mondrian Conformal Prediction 至多测试单元与非等变分类器，利用选择规则对校准集的置换不变性；③主要结论是在任意置换不变选择规则下，所构造预测集的条件覆盖概率精确达到 \(1-\alpha\)，且对 top-K、基于 conformal p-value 等现实规则给出了高效计算实现。
关键设定与假设 在第二节最小记号基础上补全： - 多测试单元：测试集大小 \(m \geq 1\)，焦点单元集合 \(\mathcal{S} \subseteq \mathcal{I}_{\text{test}}\) 由选择规则 \(\mathcal{A}\) 选出，\(|\mathcal{S}|\) 可随机。 - 选择规则 \(\mathcal{A}\)：输入 \((X_{\text{test}}, V_{\text{cal}})\)，输出 \(\mathcal{S}\)。核心假设是 \(\mathcal{A}\) 对 \(V_{\text{cal}}\) 置换不变：对任意置换 \(\pi\)，\(\mathcal{A}(X_{\text{test}}, (V_{\pi(1)}, \ldots, V_{\pi(n)})) = \mathcal{A}(X_{\text{test}}, V_{\text{cal}})\)。统计含义：选择规则仅依赖校准集 score 的排序不变统计量（如分位数、经验分布），不依赖哪个具体样本取哪个值。这比 Lee et al. (2016) 的仿射约束或 Bao et al. (2024) 的等变性宽泛得多，涵盖了几乎所有现实选择规则。 - Score 函数：允许非等变分类器，即 \(S(x, y)\) 不必满足 \(S(x, y) = -S(x, -y)\) 等对称性。这对分类问题（如 Romano et al. 2020 的 adaptive prediction set）至关重要。 - Mondrian 分类：将校准集与测试集按某离散协变量 \(Z\)（如性别、疾病亚型）分组，组内 i.i.d.，组间可异质。本文允许 \(Z\) 为空（即无分组，退化为常规 conformal）或为多值。 - 可观测数据与潜在量：同第二节，校准集 \((X_i, Y_i, V_i)\) 全可观测，测试集仅 \(X_i\) 可观测，\(Y_i, V_i\) 不可观测。选择事件 \(E = \{\mathcal{S} = s\}\) 是可观测事件。
主要结果 1. 定理 1（通用条件覆盖保证）：在上述设定下，对任意置换不变选择规则 \(\mathcal{A}\)，本文构造的预测集 \(\hat{C}_\alpha(X_i)\)（对焦点单元 \(i \in \mathcal{S}\)）满足
证明路线与技术技巧 - 整体路线： 1. 定义条件覆盖目标：明确 estimand 是 \(P(Y_i \in \hat{C}_\alpha(X_i) \mid \mathcal{S}=s, Z_i=z)\)，而非边际覆盖或 FCR。 2. 验证选择规则的置换不变性：对每个现实选择规则，证明 \(\mathcal{A}(X_{\text{test}}, V_{\text{cal}}) = \mathcal{A}(X_{\text{test}}, V_{\pi(\text{cal})})\)，从而 \(E = \{\mathcal{S}=s\}\) 是置换不变事件。 3. 秩均匀性论证：条件于 \(Z_i=z\) 与置换不变事件 \(E\)，组 \(z\) 内的 \((V_{\text{cal},z}, V_i)\) 的联合秩仍均匀分布（因 i.i.d. + 置换不变事件不破坏对称性）。 4. 构造预测集：取组 \(z\) 内校准集 score 的修正分位数 \(Q_{1-\alpha}^-(V_{\text{cal},z})\) 作为阈值，构造 \(\hat{C}_\alpha(X_i) = \{y : S(X_i, y) \leq Q_{1-\alpha}^-(V_{\text{cal},z})\}\)（对非等变 score，需分别取上/下分位数构造双侧集）。 5. 覆盖保证：由秩均匀性，\(P(V_i \leq Q_{1-\alpha}^-(V_{\text{cal},z}) \mid E, Z_i=z) \geq 1-\alpha\)，从而 \(P(Y_i \in \hat{C}_\alpha(X_i) \mid E, Z_i=z) \geq 1-\alpha\)。 - 关键跳跃点： - 多测试单元下的秩均匀性：当 \(m>1\) 且 \(\mathcal{S}\) 包含多个单元时，需证明每个焦点单元 \(i \in \mathcal{S}\) 的秩在条件分布下仍均匀。难点在于 \(\mathcal{S}\) 的选择可能依赖多个 \(X_j\)，从而引入依赖结构。作者通过“条件于 \(\mathcal{S}=s\) 与 \(V_{\text{cal}}\) 的置换不变统计量，各焦点单元的 score 仍 i.i.d. 且与校准集对称”绕过，关键引理是 Lemma 2（条件秩均匀性），用置换群的不动点性质证明。 - 非等变 score 的分位数修正：常规 conformal 对等变 score 用单侧分位数；非等变 score（如分类的 APS score）需双侧修正。作者引入“上/下修正分位数”\(Q_{1-\alpha}^+, Q_{1-\alpha}^-\)，分别控制 score 的上/下尾，关键引理是 Lemma 3（非等变 score 的条件覆盖），用秩均匀性分别论证上/下覆盖。 - 技术技巧点名： - 置换群与不动点论证：用校准集索引的置换群 \(\Pi_n\) 作用于 \(V_{\text{cal}}\)，证明条件于置换不变事件后，秩分布不变。起作用：将条件覆盖问题转化为对称性下的秩问题，避开选择事件的具体结构。 - Mondrian 分组：将校准集与测试集按 \(Z\) 分组，组内用修正分位数。起作用：允许异质子群体下的条件覆盖，而非强制全局覆盖。 - 修正分位数（Conformal 分位数的有限样本修正）：取 \(\lceil (1-\alpha)(n_z+1) \rceil / (n_z+1)\) 分位数而非 \(\lceil (1-\alpha)n_z \rceil / n_z\)，补偿测试单元自身占的秩。起作用：保证有限样本精确覆盖，而非渐近逼近。 - 两步 Conformal：对基于初步预测集属性的选择，先构造初步集（用校准集分位数），再基于初步集属性选择，再构造最终集（仍用校准集分位数）。起作用：避免选择规则依赖未观测的 \(Y_i\)，仅依赖可观测的 \(X_i\) 与校准集统计量。
真实例子与应用 - 药物发现（DAVIS 数据集，DeepPurpose 库）： - 数据/场景：DAVIS 数据集包含药物-靶点相互作用亲和力数据。目标是预测新药物-靶点对的亲和力，并选出亲和力最高的 top-K 组合（最有潜力的药物）。 - 怎么用上去：用 DeepPurpose 预训练模型拟合 \(\hat{\mu}(x)\)，构造残差 score \(S(x, y) = |y - \hat{\mu}(x)|\)。校准集用部分标注数据，测试集为未标注候选。选择规则为 top-K（选预测亲和力最高的 K 个）。用本文方法构造条件覆盖预测集，保证选出的 top-K 药物的真实亲和力落入预测集的概率精确为 \(1-\alpha\)。 - 得到什么结果：与常规 conformal 对比，常规方法在 top-K 下的条件覆盖远低于 \(1-\alpha\)（因高预测值区域噪声大），本文方法条件覆盖精确达标，且预测集宽度与常规方法相近（未因条件覆盖而过度变宽）。 - 想说明什么：验证条件覆盖的必要性与本文方法的精确性；展示在现实 top-K 选择下，常规 conformal 失效而本文有效。 - 健康风险预测（MIMIC-IV ICU 数据集）： - 数据/场景：MIMIC-IV 电子健康记录数据，目标是预测 ICU 患者住院时长，并选出预测集最窄的患者（高置信预测对象，对应 Ren et al. 2023 的“机器人求助”逻辑：窄集=低不确定性=可自主决策）。 - 怎么用上去：用 Gupta et al. (2022) 的预处理管道提取特征，拟合 CQR 模型（Romano et al. 2019）构造 score \(S(x, y) = \max(\hat{q}_L(x) - y, y - \hat{q}_U(x))\)。选择规则为“选预测集宽度最小的 K 个患者”。用本文方法构造条件覆盖预测集。 - 得到什么结果：常规 conformal 在选窄集患者下条件覆盖不足（窄集患者可能恰是噪声小的亚群，全局分位数过宽导致覆盖虚高？实际是：选窄集=选低噪声亚群，全局分位数对低噪声亚群过宽，覆盖虚高但区间不必要地宽；本文方法用条件分位数，区间更窄且覆盖精确）。本文方法在条件覆盖精确达标的同时，区间宽度比常规 conformal 更短（因条件分位数更贴合低噪声亚群）。 - 想说明什么：展示本文在非 top-K 选择（基于预测集属性的选择）下的有效性，且在条件覆盖达标的同时可缩短区间（条件推断的效率优势）。
🔎 结论是否比证明窄 - 作者在定理陈述中明确区分了“精确等于 \(1-\alpha\)”（连续 score 下）与“\(\geq 1-\alpha\)”（一般 score 下，因分位数取整），未泛泛 claim 精确覆盖。 - 对优化选择规则，作者在 Section 4.4 给出了置换不变性验证，但计算实现仅给出了“搜索+分位数”的框架，未证明所有优化选择均可高效计算（可能存在 NP-hard 的优化选择，此时置换不变性成立但计算不可行）。作者在正文未 claim 所有优化选择均高效，但 framing 中暗示“通用框架涵盖优化选择”，研究者需注意计算可行性缺口。
四、开放问题（点到为止，扎根具体语句）¶
- 高维设定下的条件覆盖效率：本文保证有限样本精确覆盖，但预测集宽度依赖校准集样本量 \(n_z\)（组 \(z\) 内校准集大小）。在高维下（\(p \gg n_z\)），预训练模型 \(\hat{\mu}\) 可能过拟合，score \(V_i\) 方差大，导致预测集过宽。问题：能否结合半参数有效推断（如 Debiased ML + HOIF）缩小 score 方差，从而在高维下缩短条件覆盖预测集？扎根：本文 intro 淡化了 Chernozhukov et al. (2015) 的半参数路线，未讨论高维效率。
- 非置换不变选择规则：本文核心假设是 \(\mathcal{A}\) 对 \(V_{\text{cal}}\) 置换不变。若选择规则依赖校准集的具体值（如选“与校准集第 3 个样本最相似的测试单元”，相似度依赖 \(V_3\) 的具体值而非排序），置换不变性破坏，本文方法失效。问题：对非置换不变选择规则，能否构造有限样本条件覆盖预测集，或只能退回渐近修正？扎根：本文 Section 3.1 明确将置换不变性列为必要假设，未讨论违反时的补救。
- 条件覆盖与 FCR 的统一：本文保证单焦点单元的条件覆盖 \(P(Y_i \in \hat{C}_\alpha(X_i) \mid \mathcal{S}=s, Z_i=z) \geq 1-\alpha\)，但未控制 FCR（选出的焦点单元中，预测集未覆盖的比例）。问题：能否在条件覆盖保证的同时控制 FCR，或两者需权衡？扎根：Bao et al. (2024) 与 Xu et al. (2022) 关注 FCR，本文关注条件覆盖，两者目标不同但场景重叠，intro 未讨论统一或权衡。
- 计算不可行的优化选择：对某些优化选择（如组合优化），\(\mathcal{A}\) 置换不变但计算不可行。问题：能否用近似算法（如贪心、松弛）做选择，再构造条件覆盖预测集，且覆盖保证对近似误差稳健？扎根：本文 Section 4.4 给出优化选择的框架，但未讨论近似算法的影响。
提醒：要确认某条是不是真 gap，去读同子领域近期约 5 篇的 intro——都指向它 = 共识（真 gap），互相打架 = 机会。例如，高维效率问题需查近期 conformal + high-dim 论文（如 conformalized debiased ML）是否已触及；非置换不变问题需查 selective inference 近期是否有人尝试用条件概率比（如 Lee et al. 的仿射约束推广）做 conformal。
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