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Selecting informative conformal prediction sets with false coverage rate control

作者: Ulysse Gazin, Ruth Heller, Ariane Marandon, Etienne Roquain
来源: Journal of the Royal Statistical Society Series B
主题: 数理统计 / 假设检验
相关性: 6/10
机构绿灯: Tel Aviv University（US News 前 50，免分进入精读）
链接: 期刊页 · arXiv

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

该子方向解决的根本问题是：在监督学习（分类/回归）中，当分析者只对“有信息量”的预测集感兴趣时（例如预测集足够小、排除了空值、或其他由用户定义的“单调约束”），如何构造预测集并控制所选样本上的错误覆盖率（False Coverage Rate, FCR）。这里的 FCR 是指被选中的样本中，真实标签未包含在其预测集内的比例的期望。该方向将“多重比较中的 FCR 控制”（最初用于置信区间）与“共形预测”（distribution-free 预测集构造）结合起来，是选择性推断（selective inference）在非参数预测中的自然延伸。当前成熟度：理论框架刚刚建立，有限样本保证已有，但针对“信息性”约束的 FCR 控制此前未见。

发展脉络

以下根据论文引言（用户描述中提到“作者亲手替你画好的一张领域 gap 地图”）和参考文献中的引用语境，串成一条线：

  • 奠基工作：共形预测与有限样本覆盖保证。Vovk et al. (2005) 提出共形预测框架，Lei et al. (2013, 2016, 2018) 将其系统化，给出 split conformal 预测集的有限样本边际覆盖保证。Lei et al. (2018) 引入局部加权残差作为得分函数；Romano et al. (2019) 提出共形分位数回归以自适应异方差；Gupta et al. (2022) 给出嵌套预测集的一般框架。这些工作只关心“所有预测集”的边际覆盖，不涉及选择。

  • 主要进展：共形 p 值与多重比较。Bates et al. (2023) 和 Marandon et al. (2024) 证明共形 p 值在异常检测中具有正相依性，使得 BH 程序可以直接用于 FDR 控制。Jin & Candès (2022) 提出在多重测试后构造预测集，控制 FDR。这些工作开启了“共形 p 值 + 多重比较”的路线，但只关注“拒绝”（选择为异常），尚未给选中的样本同时构造预测集。

  • 当前 frontier：选择后推断与 FCR 控制。Benjamini & Yekutieli (2005) 首次提出 FCR 概念并给出 BY 调整程序；Weinstein & Yekutieli (2014) 和 Weinstein & Ramdas (2020, 2019) 发展了 sign‑determining 置信区间和在线 FCR 控制。Bao et al. (2024) 针对选择性共形推断提出 SCCP 方法，实现 FCR 控制，但要求选择规则是 exchangeable 的（即对校准集和测试集的置换不变）。Jin & Ren (2023) 给出 selection‑conditional 覆盖保证，但只控制单个被选单元的覆盖概率，而非总体 FCR。Gao et al. (2024) 提出统一的构造性选择性风险控制框架，将 BH 重解释为 BY 的固定点迭代。

  • 本文的位置。本文声称：在上述工作之后，仍没有针对“信息性”预测集（满足单调约束）的 FCR 控制方法。作者指出，直接使用 BY 调整（如 Bao et al. 2024 的方法用于回归）会导致均匀膨胀的预测区间（即不满足“信息性”），而本文提出的 InfoSP 和 InfoSCOP 首次在有限样本下同时保证预测集的信息性和所选样本上的 FCR ≤ α。本文的关键技术是将 BH 过程的“掩蔽”（masking）思想移植到共形 p 值的分位数上，并依赖 Blanchard & Roquain (2008) 的自洽性条件来证明 FCR 控制。

子线索聚类

可以将被引文献分为以下四条子线索：

  1. 标准共形预测与覆盖保证。包括 Lei et al. (2013, 2016, 2018)、Romano et al. (2019)、Gupta et al. (2022)、Sadinle et al. (2019)、Barber et al. (2019) 等。这一簇关注边际或条件覆盖，不涉及选择。

  2. 共形 p 值与多重测试中的 FDR 控制。包括 Bates et al. (2023)、Marandon et al. (2024)、Jin & Candès (2022) 以及 Gazin et al. (2023) 关于联结共形 p 值联合分布的工作。这一簇证明共形 p 值支持 BH 程序的 FDR 控制条件，可视为本文的“算法原料”。

  3. 选择性推断与 FCR 控制（置信区间版本）。包括 Benjamini & Yekutieli (2005)、Weinstein & Yekutieli (2014, 2020)、Weinstein & Ramdas (2020)、Gao et al. (2024)。这一簇建立了 FCR 控制的基本框架和算法（BY 调整、在线过程），但不涉及预测集构造。

  4. 选择性共形推断（预测集版本）。包括 Bao et al. (2024)、Jin & Ren (2023)、Zhao & Su (2023) 以及本文。这一簇处于前沿，主要差异在选择规则的类型和所控制的错误标准（条件覆盖 vs. FCR，exchangeable 选择 vs. 任意单调选择）。本文在该簇中特别处理了“信息性”约束。

这个方向在追问的核心问题

  1. 选择偏差如何影响共形预测集的覆盖？ 边际覆盖在选择性抽样下失效。Bao et al. (2024) 通过 exchangeable 选择规则绕过，Jin & Ren (2023) 通过重标定条件覆盖，但都未处理“信息性”的限制。
  2. 如何定义“信息性”并纳入 FCR 控制？ 信息性可以用一个单调约束形式化（预测集大小 ≤ t、排除空值等），但该约束会破坏常规的 BH 调整。
  3. 能否利用共形 p 值的特殊相依性（正相依）来绕过 BY 调整的保守性？ 这是本文的核心创新：通过将选择阈值定为共形 p 值的函数，而不是直接使用 BY 的固定分位数，来同时满足信息性和 FCR 控制。
  4. 是否存在有限样本、分布自由的 FCR 控制程序，且不需要 exchangeable 选择规则？ 本文声称 InfoSP 和 InfoSCOP 做到了（选择规则可以基于 p 值或得分，不一定满足全局 exchangeability）。

⚠️ 作者的 framing

作者将缺口明确 frame 为：“现有选择性共形推断要么只控制边际/条件覆盖（如 Jin & Ren 2023），要么只能针对 exchangeable 选择规则（如 Bao et al. 2024），且不要求预测集必须‘有信息量’。在分析者实际关注的场景中（如只报告小预测集），这些方法会失效。本文提供首次通用的信息性 FCR 控制。”

作者淡化了以下几个竞争路线： - 直接使用 BY 调整（Benjamini & Yekutieli 2005）：作者指出这会使得预测集膨胀，不满足信息性（论文中可能以回归为例展示）。 - 使用条件覆盖（Jin & Ren 2023）：只控制单个单元的覆盖概率，不是总体 FCR；且同样无法嵌入信息性约束。 - Gao et al. (2024) 的构造性框架：该框架可以衍生出类似方法，但作者未将其视为已有解决方案，可能因为 Gao et al. 的方法更抽象，未具体讨论信息性预测集。

值得研究者去查的问题：① Bao et al. (2024) 是否明确讨论了“信息性”约束？如果未讨论，本文的填补是否完整？② Gao et al. (2024) 的框架能否通过选择合适的 risk 函数直接得到 InfoSP（即本文是否为该框架的一个实例）？如果是，则本文的新颖性需要重新评估。③ 有没有早期文献（如 Benjamini & Yekutieli 2005 的 BY 程序用于预测集）直接处理了信息性，被作者忽略？作者在开头提到“by contrast with Bao et al. (2024)”，但未提及 BY 程序在预测集上的直接应用——这可能是一条被弱化的路线。

张力

未见明显对立引用。各工作之间主要是互补关系（不同选择规则、不同错误标准），没有在相同条件下得出矛盾结论的案例。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：把符号、模型、可观测数据交代清楚

符号（本文采用 split conformal 设定）： - 训练样本 D_train = {(X_i, Y_i), i ∈ I_train}，用于训练预测函数（如回归模型 μ(x)，分类模型 p_k(x)）。 - 校准样本 D_cal = {(X_i, Y_i), i ∈ I_cal}，大小为 n。 - 测试样本 X_test = {X_j, j ∈ [m]}，对应未知的 Y_j。全集索引：D_cal ∪ {test} 共 n+m 个点。 - 对于每个测试点 j，构造共形 p 值 p_j(y)（关于假设 H_j: Y_j = y）或直接构造预测集。本文主要使用共形得分函数 s(x, y)（大的得分代表“non-conformity”高）。 - 共形预测集 C_α(x_j)：所有满足 s(x_j, y) ≤ Q_{α} 的 y，其中 Q_α 是校准集得分的 ⌈(n+1)(1-α)⌉ 阶 order statistic。经典保证：P(Y_j ∈ C_α(X_j)) ≥ 1-α（边际覆盖）。 - 信息性约束：用户定义一个单调函数 t(p_j)（例如 t(p_j) = 1 如果 |C_{p_j}(X_j)| ≤ K，否则 0），表示“该预测集是否有信息量”。本文要求 t(p_j) 是 p 值的非增函数（即 p 值越小，越不可能有信息量？这一点需要确认，但抽象上看，信息性指标随 p 值变化单调）。 - 选择规则：选择那些信息性指标为 true 的测试点。设 S = {j ∈ [m]: Info_j = True} 为选中的集合。 - FCR：E[ |{j ∈ S: Y_j ∉ C_{p_j}(X_j)}| / (|S| ∨ 1) ]。

模型： - 数据生成机制：所有 (X_i, Y_i)（训练 + 校准 + 测试）是可交换的（实际上只需要校准+测试的联合可交换即可，训练集可与测试相关）。通常假定 i.i.d.。 - 得分函数 s(x, y) 可以是任意训练好的黑箱模型，固定在 split 中（不依赖于校准数据）。

可观测数据： - 观测到的：D_train 中的 (X, Y)，D_cal 中的 (X, Y)，X_test 中的 X。Y_test 不可观测——这是要预测的目标。 - 不可观测且想要的：每个测试点的真实标签 Y_j 以及它是否落在预测集中（需要假设检验或覆盖保证）。

第二步：讲最小内核

考虑最简特例：二分类问题，只有一个测试点 j（m=1）。在 split conformal 中，通常构造预测集 C_α = {y ∈ {0,1}: s(x_j, y) ≤ η_α}，其中 η_α 是校准得分的 (1-α) 分位数。现在增加“信息性”约束：只有当一个预测集是单元素集（即只包含一个类别）时，我们才认为它有信息量（否则如果包含两个类别，则完全不确定，无信息）。我们在决定是否报告这个预测集时，面临选择：如果它恰好是单元素集，就报告；否则不报告。问题是：如果我们只报告这些“有信息量”的预测集，那么它们所声称的 1-α 覆盖保证还成立吗？显然不成立 —— 选择机制使覆盖概率下降（例如，只有那些得分分离得很好的点才会被选中，而这些点更容易出错？需要仔细分析）。本文要控制的是：在所有被报告的点中，错误覆盖的比例的期望 ≤ α。

最小内核：假设只有一个测试点，且其预测集恰好是单元素集（因此被选中）。我们想要一个调整后的 p 值阈值 p_BH，使得当我们使用这个阈值构造的预测集时，该测试点的覆盖概率在给定它被选中的条件下仍受控。但 FCR 控制不是对单个点的条件保证，而是对多个点的比例保证。所以真正的“最小内核”发生在有多个测试点且每个都有信息性指标的场景。

再简化为两个测试点：j=1,2。假设两个点的信息性指标都是 true，但只有一部分被选中（例如，BH 程序决定选取其中一个）。InfoSP 的核心想法是：我们将每个测试点的共形 p 值 p_j 视为多重测试中的原始 p 值，然后使用 BH 过程决定一个阈值 q，只选择那些 p_j ≤ q 的点。但是共形 p 值本身是 非均匀的 —— 它们由校准集的 order statistic 定义，而不是标准的均匀 p 值。然而，经典结果（Bates et al. 2023 等）证明共形 p 值在交换性下是超均匀的（P(p_j ≤ u) ≤ u）。

关键跳跃：InfoSP 构造的过程是：对每个测试点 j，计算共形 p 值 p_j（定义为测试得分在校准得分中的分位数）。然后对所有测试点运行 BH 过程（阈值为 α），选出那些被 BH 拒绝的点。对于每个被选中的点，构造预测集 C_α(x_j) 时并非使用原 α，而是使用一个 调整后的水平 α_j = α × (|S| / m)？不，这是 BY 调整的做法。本文不是直接 BY，而是采用 BH 掩蔽：将 BH 本身的调整视为一种掩蔽机制。具体地，InfoSP 构造一个阈值 p_BH（BH 对共形 p 值列表的临界值），然后对于被选中的点，使用 α 构造预测集（而不是调整后的）。这怎么可能控制 FCR？关键观察：共形 p 值之间具有正相依性（Bates et al. 2023），使得 BH 过程本身满足 self-consistency condition，且被选中的点满足某种“协方差控制”条件，从而 FCR 上界为 α。证明需用到 Blanchard & Roquain (2008) 的 Lemma 3.2（自洽性 + 依赖控制 → FDR/FCR 控制）。在共形 p 值的特殊依赖结构（条件独立给定校准集？）下，依赖控制条件成立。

直觉：InfoSP 相当于先在所有测试点上执行 BH 过程筛选出“显著”点（即预测集相对很小的点），然后对这些显著点报告原水平 α 的预测集。BH 过程的自我约束保证了 false coverage 的比例不超标。

三、这篇论文做了什么

三句话

  1. 本文研究在监督学习（分类与回归）中，当分析者只关注“有信息量”的共形预测集（如小集、排除空值等）时，如何控制所选样本上的错误覆盖率（FCR）。
  2. 提出 InfoSP 和 InfoSCOP 两类程序，其核心工具是将共形 p 值的 order statistic 与 Benjamini-Hochberg 的掩蔽思想结合，利用 Blanchard & Roquain (2008) 的 self-consistency + dependency control 条件证明 FCR 控制。
  3. 主要结论：在任意单调约束下（即信息性指标是 p 值的非减函数），InfoSP 在 split conformal 下保证 FCR ≤ α；InfoSCOP 允许对校准集进行重采样（类似交叉验证），同样保证 FCR ≤ α；模拟与真实数据实验展示程序实用性。

关键设定与假设（补全完整设定，基于第二节最小记号）

  • 设定：split conformal（校准集与训练集分离）。测试点索引 1…m。每个测试点 j 有共形得分 s_j(y) = s(X_j, y) 为某个固定（经过训练的）非对称性函数（non-conformity score）。校准集得分 {s_i} 用于计算分位数。
  • 共形 p 值：p_j = (1 / (n+1)) * (1 + ∑_{i=1}^n I(s_i ≤ s_j(Y_j)))，如果真实 Y_j 已知；但在选择时 Y_j 未知，实际用于构造的是基于假设 Y_j = y 的条件 p 值。本文中“共形 p 值”指的是测试点 与校准集比较得到的位次分数，这是已知量（不依赖未知 Y）。
  • 信息性约束：一个单调函数 t_j(p_j) 指示测试点 j 的预测集是否被选择。关键假设：t_j(p_j) 对 p 值是非增的（或至少可分解为单调形式）。这一假设允许使用 BH 掩蔽。
  • 选择规则：选择那些 t_j(p_j) = True 的点。InfoSP 进一步要求该选择规则等价于“共形 p 值 ≤ 某个 BH 阈值”，即选择本身也基于 p 值的排序。这覆盖了“预测集大小 ≤ K”和“预测集排除空值”等常见信息性定义。

相比已有文献的假设差异： - 相比 Bao et al. (2024)：不需要选择规则对校准+测试的联合置换不变（exchangeable），但需要选择规则是 p 值的单调函数。比 exchangeable 条件更宽松，但限制为 p 值的函数。 - 相比 Jin & Ren (2023)：不要求条件覆盖（对单个点），而是控制总体 FCR。 - 对比经典 BY 调整（Benjamini & Yekutieli 2005）：BY 对每个选中的点使用更窄的置信水平（α * k/m），这会导致预测集变大，可能不满足“小集”的信息性。InfoSP 使用原水平 α 构建预测集，但使用 BH 选择过程来补偿，从而在选中点上既保持小集又控制 FCR。这是核心 trade‑off。

主要结果（理论型，基于摘要和框架推断）

由于未提供具体定理语句，以下基于方法名称和引用语境重建：

定理 1（InfoSP 的 FCR 控制）： 在 split conformal 设定下，共形 p 值满足超均匀性且整体正相依。定义 InfoSP 过程： 1. 对所有 m 个测试点计算共形 p 值（使用校准集）。 2. 对这些 p 值运行 BH 过程（水平 α），得拒绝集 S（即选中的点）。 3. 对每个 j ∈ S，构造标准共形预测集 C_α(x_j)。 则 FCR(S) = E[ FDP(S) ] ≤ α，其中 FDP 是选中的点中预测集未覆盖真实标签的比例。

证明路线： - 套用 Blanchard & Roquain (2008) 的框架：需要验证两个条件：自洽性（self-consistency）和依赖控制（dependency control）。 - 自洽性：由 BH 过程的定义自动满足（因为选中的 p 值都 ≤ k α / m，其中 k = |S|）。 - 依赖控制：需要证明对共形 p 值的任意向量，∑_{j=1}^m I(p_j ≤ α k/m 且 H_j 真) / k 的期望 ≤ α，或类似的条件。Bates et al. (2023) 已证明共形 p 值具有 PRDS（正回归依赖）性质，Blanchard & Roquain (2008) 表明 PRDS 足以支持 dependency control。因此可得 FCR ≤ α。

技巧：关键在于共形 p 值的 PRDS 性质不依赖任何分布假设，仅依赖交换性。而本文的“信息性”选择嵌入为 BH 拒绝集，因此可以直接套用已有结果。对于非 BH 类型的选择（如直接基于预测集大小的选择），InfoSP 需要将选择规则转换为 p 值的函数（通过一个单调函数 t(·)），然后对经过转换的 p 值运行 BH 过程。这实际上是一种“masking”：选择规则被 BH 过程吸收。

InfoSCOP 的扩展：当校准集较小，或需要更准确的 p 值时，InfoSCOP 允许对校准-测试进行多次随机分割（类似交叉验证），使用类似 cross-conformal 的聚合方式，仍然保持交换性论证。

证明路线与技术技巧（基于已知框架推测，因为本文具体证明未提供）

整体路线（3-5步）： 1. 将选择性 FCR 控制问题转化为多重假设检验问题：每个测试点 j 对应一个零假设 H_j: Y_j ∉ C_α(x_j)（即预测集不覆盖真实值）。若我们选择测试点 j，等价于拒绝 H_j。FCR 控制等价于在拒绝的假设中控制 FDR。 2. 构造有效的 p 值：对每个测试点 j，构造适合该零假设的 p 值。这一步是关键：共形预测集 C_α(x_j) 的定义本身给出了 p 值——它是校准得分中大于测试得分的比例。这一点在 Bates et al. (2023) 中已有。但这里的 p 值必须是“对真假设超均匀的”——由于共形的交换性论证，这是成立的。 3. 证明这些 p 值满足 PRDS：这是多个已有工作（Jin & Candès 2022; Bates et al. 2023）的结论。本文直接引用。 4. 应用 Blanchard & Roquain (2008) 的框架： - 定义 BH 拒绝集 R = {j: p_j ≤ α |R| / m}。 - 自洽性：R 满足 p_j ≤ α |R| / m 对所有 j ∈ R。 - 依赖控制：由于 PRDS，可以用引理 F.1（即 Blanchard & Roquain 2008 的 Lemma 3.2）得出 FDR ≤ α。 5. 将 FDR ≤ α 翻译回 FCR ≤ α：因为 FDR 对应拒绝假设的比例，而这里拒绝假设 = 选择该点，所以 FDP 就是未覆盖的比例。因此 FCR = FDR ≤ α。

关键跳跃点： - p 值的构造：需要确保 p 值在真实零假设下是超级均匀的（P(p_j ≤ u) ≤ u）。交换性保证了这一点（见 Vovk et al. 2005）。 - 依赖条件的验证：本文使用正相依性（PRDS）来验证 dependency control。这个条件对共形 p 值是否总是成立？Bates et al. (2023) 证明了对“类条件”共形 p 值（class‑calibrated）成立，但对任意得分函数条件需要检查。本文可能给出了更普遍的论证（或只覆盖了常见类型）。 - 信息性约束的兼容：如果选择规则不是 BH 步骤（例如直接基于预测集大小的切割），如何将其转换为 p 值的单调函数？这需要构造一个 mask（掩蔽函数），使得选择规则等价于对 mask 后的 p 值执行 BH。本文的 Lemma 3.1 或类似性质应给出构造。

技术技巧： - Benjamini-Hochberg masking：将选择规则“标准化”为 BH 过程，从而继承自洽性与依赖控制。 - 共形 p 值的交换性论证：利用校准集和测试集的联合交换性，证明 p 值的超均匀性和 PRDS。 - Blanchard & Roquain (2008) 的自洽性 + 依赖控制引理：这是证明 FCR ≤ α 的核心工具。 - Bootstrap / 重采样 (InfoSCOP)：通过多次分割获得更稳定的 p 值分布，同时保持 FCR 控制——这需要证明重采样不破坏交换性或正相依性。

真实例子与应用（从摘要提及）

两个真实数据实验（论文末尾的实验部分）： - 分类：可能使用了 UCI 数据集，例如图像或表格分类。方法：训练分类器，计算类条件共形 p 值，使用 InfoSP 选择那些预测集足够小（例如只包含概率最高的一个类别）的点，然后报告这些点的预测集。结果：相比直接对所有点报告预测集（边际覆盖 90%），InfoSP 选中的点的预测集更小、但实际覆盖在选中样本上仍接近 90%（FCR 控制在了 10%）。对比方法是 BY 调整的预测集，结果显示 BY 调整后的预测集普遍更大，不满足信息性。 - 回归：使用空气污染或房价数据集。方法：使用基于绝对残差的共形得分，信息性定义为“预测区间长度小于某个阈值”。结果类似：InfoSP 选中的点区间更短，而 FCR 控制在设定水平下。 （以上是基于共形预测常见例子的合理推断。由于正文未提供，无法给出具体数字。）

例子想说明的问题：（1）FCR 在信息性选择下未被 inflate；（2）相比直接使用 BY 调整（导致区间膨胀），InfoSP 的区间在原水平下更短，符合信息性要求；（3）InfoSCOP 在重采样下略有改进。

🔎 结论是否比证明窄

由于正文缺失，只能基于摘要和引用语境推测可能存在的“过度 claim”位置： - 论文声称“任意单调约束”下 FCR 都受控。但证明可能只覆盖了由 p 值的某个单调函数定义的约束（如 |C_p| ≤ K 是反比于 p 的，所以是单调的）。对于非单调（如“预测集包含某个特定标签”），可能不适用。需确认作者是否给出了构造。 - “有限样本保证”是准确的，但保证的是整体 FCR ≤ α，而非选中点的条件覆盖。作者在摘要和引言中未混淆这两点。 - 对于 InfoSCOP 的 FCR 控制，可能依赖于特定重采样 scheme（如 B 次随机分割，然后聚合）。聚合步骤可能引入额外近似（如使用 Bonferroni 校正），从而变得保守而非精确 ≤ α。需检查定理是否写明了“≤ α”还是“≤ α + 小量”。

四、开放问题（点到为止，扎根具体语句）

  1. 非单调信息性约束下的 FCR 控制：本文的框架要求信息性指标是 p 值的（非增）函数。对于 t_j(p_j) 非单调的情况（例如，只在特定 p 值区间认为有信息量），是否可以通过其他掩蔽函数（如使用更一般的 Burkholder 不等式）实现 FCR 控制？这扎根于文中“单调约束”这一核心假设，未来工作部分可能提及。

  2. 与 Gao et al. (2024) 构造性框架的关系：Gao et al. (2024) 提出通过迭代 BY 过程控制多种选择性风险。InfoSP 是否是这个框架的特例？若是，则如何选择 risk function 和 decision strategy 来生成 InfoSP？这条 gap 扎根于作者对 Gao et al. (2024) 的引用（仅用于对比），未将其吸收为特例。

  3. 更一般的选择规则（不基于 p 值）：如果选择规则直接基于预测集的长度（而非 p 值），能否实现分布自由的 FCR 控制？InfoSP 通过将选择规则转换为 p 值的函数来实现，但若原始规则无法用 p 值单调表示（如选择那些预测集长度在某个区间的点），则需要新的论证。这扎根于本文对选择规则的假设（Section 2 中的单调性）。

  4. 在线 FCR 控制：Weinstein & Ramdas (2020) 给出了在线置信区间的 FCR 控制。本文的 InfoSP 是否可以扩展到在线流式测试点？共形 p 值的正相依性在在线设定下是否仍然成立？这扎根于引言中提到的在线 FCR 文献（Weinstein & Ramdas 2020）与本文的设定不同，但未讨论。

提醒：以上第三、四节的部分推论依赖对论文内容的合理推断（因未提供全文定理），建议研究者获取论文正文后，重点核对：(1) 定理中 FCR ≤ α 是 exact 还是 up to a small error；(2) 信息性约束的数学形式是否真的覆盖了实验中用的所有场景；(3) InfoSCOP 的重采样方法是否保持了 exchangeability 的证明线索。

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