An anomaly arising in the analysis of processes with more than one source of variability

作者: H S Battey, Peter McCullagh
来源: Biometrika
主题: 数理统计 / 假设检验
相关性: 5/10
机构绿灯: Imperial College London（US News 前 50，免分进入精读）
链接: https://doi.org/10.1093/biomet/asad044

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一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

本方向聚焦于方差分量（variance components）的统计显著性检验，尤其关注在包含多个随机效应来源（如混合模型、纵向数据、聚类数据）时，不同检验统计量（Wald 统计量 vs. 似然比检验 LRT）的渐近行为差异。核心问题在于：当零假设位于参数空间的边界（如方差分量为零）时，经典 Wald 统计量的标准 \(\chi^2\) 渐近分布失效，而 LRT 的渐近分布（通常是混合 \(\chi^2\)）却保持正确。本文旨在从几何角度解释这一现象的根本原因。

发展脉络（history）

从历史文献看，该问题经历了一个从“经验发现”到“几何解释”的演进过程：

• 奠基工作：发现 Wald 失效的现象（较早期，但本文引用较少）。早在混合模型被广泛使用之初，研究者们就在实践中注意到，Wald 统计量对方差分量的显著性检验往往给出“过于保守”或“过于激进”的糟糕结果。这一现象常见于各种统计软件的输出中，但起初被认为是个别数值问题或近似不良。

• 主要进展：LRT 混合 \(\chi^2\) 渐近理论的建立（Self & Liang, 1987; Shapiro, 1985; Stram & Lee, 1994; 等）。这些工作建立了在参数空间边界（通常为锥）上，LRT 的渐近分布为 混合 \(\chi^2\) 分布（chi-bar-squared）。核心思想是：零假设下的 MLE 被“投影”到边界上，其极限分布是高斯向量在锥上的投影的范数。这一理论为 LRT 在方差分量检验中的有效性提供了数学基础。本文引用这些工作作为 LRT 正确性的理论支撑，但并未详细讨论其证明细节。

• 当前 Frontier：承认 Wald 的失败并追溯根源。近年来的研究态度更加明确：Wald 统计量在边界假设下根本不应被使用。一个直接的证据来自 Dickey (2020)——本文核心引文。Dickey 强烈主张在方差分量评估中“始终使用合适的 LRT”，而这是基于对 Wald 失效的深入分析。然而，过去文献多集中于描述现象或给出经验规则，对其背后更深入的几何结构的解释相对缺乏。本文的位置正是要填补这一“知其然，不知其所以然”的空白。

• 本文的位置：本文是 对 Wald 失效原因的精细几何分析。它不像 Self & Liang (1987) 那样发展 LRT 的一般渐近理论，而是通过两个极其简单的模型（含嵌套与交叉方差分量），直接将 Wald 的失败归因于参数空间在零假设边界处的“非典型几何”。它提供了一种可视化和数值可验证的几何理解方式，并明确将 LRT 的正确性作为对比基准，从而在“理解了现象”的层面上，将 Dickey (2020) 的实践建议提升为有理论几何基础的结论。

子线索聚类

这些被引文献大致落在以下两个子线索上：

1. 通用边界假设下的渐近理论（《General Theory》）：这条线关心最一般的参数空间（由光滑等式与不等式约束定义）下的 MLE、LRT、Wald 和 Score 检验的性质。关键文献是 Self, S. G. & Liang, K.-Y. (1987) 和 Shapiro, A. (1985)。这些理论表明，在零假设参数位于约束锥的顶点时，LRT 是混合 \(\chi^2\)。然而，这些工作并不专门针对方差分量问题，其几何假设（如“参数空间在 \(H_0\) 下局部看是一个凸锥”）在一般模型中可能被满足，但本文指出，在方差分量模型中，这个“凸锥”常常退化为一个更低维的平滑流形，或者说参数空间的边界并非简单锥形，而是非零曲率的复杂曲面的部分。

2. 方差分量检验的具体问题（《Variance Component Testing》）：这条线更贴近实践，研究方差分量检验中的具体问题，并推荐 LRT。Stram, D. O. & Lee, J. W. (1994) 是此领域的关键，它将 LRT 的混合 \(\chi^2\) 理论应用于纵向数据分析中的随机效应检验。Dickey (2020) 则明确指出 Wald 的失败，并给出强硬的操作建议。本文属于此子线索，但引入了全新的视角（几何分析）来深化理解。

这个方向在追问的核心问题与瓶颈

• 核心问题 1：在给定复杂方差分量结构（如非嵌套、交叉分类）的模型下，零假设下参数空间的边界几何到底是什么？是锥、是流形，还是更复杂的结构？这直接决定了 LRT 的渐近分布和 Wald 的失效程度。
• 核心问题 2：除了费希尔信息矩阵的退化，还有哪些几何特性（如边界曲率、切锥维度变化）导致了 Wald 的失效？本文的核心贡献在于揭示了 “信息矩阵退化 + 边界非光滑” 的耦合效应是根本。瓶颈在于：对于任意复杂的设计，直接解析分析这些几何特性几乎不可能的，本文提出的解决方案是“数值检验”——但这本质上放弃了对通用理论的彻底追求。

⚠️ 作者的 framing

• 作者的缺口 / 定位：作者将缺口 frame 为 “Wald 统计量在方差分量检验中的异常表现缺乏清晰的、一步到位的几何解释”。已有文献（如 Stram & Lee）提供了 LRT 的分布理论，但并未解释 为什么 Wald 会差得如此离谱。作者认为，答案在于参数空间（\(\sigma_u^2, \sigma_e^2\)）在零假设（\(\sigma_u^2 = 0\)）处的形状不是简单的锥，而是一个点（在嵌套结构模型中）或是有曲率的曲线的一部分（在交叉结构模型中）。这使得 Wald 统计量无法捕捉到“真实参数不能为负”这一硬约束，从而导致其渐近近似失效。
• 回避的竞争路线：作者淡化了其他可能的替代检验，例如 Score 检验（拉格朗日乘子检验）在边界假设下的表现。Score 检验在此问题上的渐近性质也是混合 \(\chi^2\)，常被用作 LRT 的替代，但本文未深入讨论。同时，作者也回避了非线性混合模型下方差分量的 Wald 检验问题，将场景限制在线性混合模型。
• 什么该存在却不存在：一篇关于方差分量检验 计算效率 的综述在本文及其余被引文献中完全缺席。对于庞大的纵向数据/聚类数据，执行 LRT 需要重新拟合模型，计算成本高昂。而 Wald 统计量可以基于单次拟合获得，它在计算上的优势被本文完全忽略。这暗示了一个潜在的权衡：有人可能为了计算效率而愿意承受 Wald 的检验水平失真，但本文的分析并未讨论这个权衡是否存在、以及失真的程度有多大。这是一个值得研究者去查的问题：是否存在可计算的修正 Wald 统计量？或者在大数据下，Wald 的失效是否变得可以忽略？

张力

未见明显对立引用。所有被引工作基本都同意 LRT 是方差分量检验的标准选择。唯一的潜在张力在于：Self & Liang (1987) 的通用理论在某些非正则条件下（如参数空间在边界处“崎岖不平”）可能难以直接应用，而本文通过具体几何分析验证了这种“崎岖”在方差分量 Models 中的确存在，从而从反面证明了通用理论在此处的有效性，并无矛盾。

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二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：把符号、模型、可观测数据交代清楚

在本段及接下来的分析中，我们使用以下记号：

• 记号和参数：

  • \(\theta = (\sigma_u^2, \sigma_e^2)\)：参数向量。\(\sigma_u^2 \geq 0\) 是感兴趣的方差分量（如随机截距的方差），\(\sigma_e^2 > 0\) 是误差方差。\(\theta_0 = (0, \sigma_{e0}^2)\) 是零假设下的参数值（即 \(\sigma_u^2 = 0\)）。
  • \(Y\)：\(n \times 1\) 响应向量。
  • \(X\)：\(n \times p\) 设计矩阵（固定效应部分，本文考虑最简单情况，即 \(p=0\) 或已知均值）。
  • \(Z\)：\(n \times q\) 随机效应设计矩阵（如群组指示矩阵）。
  • \(U \in \mathbb{R}^q\)：随机效应向量，通常假设 \(U \sim N(0, \sigma_u^2 I_q)\)。
  • \(\epsilon \in \mathbb{R}^n\)：误差向量，\(\epsilon \sim N(0, \sigma_e^2 I_n)\)。

• 模型： 最简的线性混合模型为：

  \[Y = X\beta + ZU + \epsilon\]
  其中 \(U\) 与 \(\epsilon\) 独立。 对应的边缘分布为：\(Y \sim N(X\beta, \sigma_u^2 Z Z^T + \sigma_e^2 I_n)\)。 协方差矩阵 \(V(\theta) = \sigma_u^2 Z Z^T + \sigma_e^2 I_n\)。

• 可观测数据：

  • 直接可观测的：响应变量 \(Y\)，以及设计矩阵 \(X\) 和 \(Z\)。我们可以根据这些计算残差、似然、Fisher 信息矩阵等。
  • 想要但不可观测的：随机效应 \(U\) 和误差 \(\epsilon\) 是潜在的潜变量。统计推断完全基于 \(Y\) 和已知的设计矩阵。

第二步：讲最小内核——揭示几何异常的最简特例

为了最清晰地展示本文的核心思想，我们考虑一个极端简化的模型：单层随机效应 ANOVA。

• 最简特例设定：

  • 我们有 \(m\) 个组，每组有 \(k\) 个观测值。总共 \(n = mk\)。
  • 固定效应为零（或已中心化）。模型为：\(Y_{ij} = U_i + \epsilon_{ij}\)，其中 \(i=1,\dots,m\), \(j=1,\dots,k\)。
  • 观测数据是 \(n\) 个观测值 \(Y_{ij}\)。

• 参数空间与零假设：

  • 参数空间是 \(\Theta = \{(\sigma_u^2, \sigma_e^2): \sigma_u^2 \geq 0, \sigma_e^2 > 0\}\)。
  • 零假设 \(H_0: \sigma_u^2 = 0\)。在零假设下，模型退化为标准 i.i.d. 模型：\(Y_{ij} \sim N(0, \sigma_e^2)\)。
  • 核心几何洞察：在零假设点 \((0, \sigma_e^2)\) 处，参数空间 \(\Theta\) 的边界是 \(\sigma_u^2=0\) 这条线。但是，由于 \(\sigma_u^2\) 不能为负，参数的可行域是一个“半平面”。对于 Wald 检验，它隐含地假设参数可以自由地在 \((0, \sigma_e^2)\) 附近“游走”，即参数空间局部看起来像是一个全维度的欧几里得空间。然而，现实是参数被“墙”（\(\sigma_u^2 = 0\) 的边界）约束了，这个边界在零假设点处非光滑（它是一个“角点”）。

• Wald 统计量的失败：

  1. 费希尔信息矩阵退化：在 \(H_0: \sigma_u^2=0\) 下，信息矩阵 \(I(\theta_0)\) 关于 \(\sigma_u^2\) 和 \(\sigma_e^2\) 的块不再是正定的。具体来说，对于随机截距模型，在 \(H_0\) 下 \(\sigma_u^2\) 不进入 \(V(\theta)\) 的“二阶”信息（似然在 \(H_0\) 处对 \(\sigma_u^2\) 的曲率是零），导致信息矩阵是奇异的。这使得 Wald 统计量 \(W = (\hat{\sigma}_u^2 - 0)^2 / \text{Var}(\hat{\sigma}_u^2)\) 无法被稳定计算，因为分子分母的估计都依赖于信息矩阵的逆，而信息矩阵不可逆。
  2. 参数估计的边界约束：实际中，MLE（或 REML）对 \(\hat{\sigma}_u^2\) 的估计通常会被“夹”在边界上（即大量模拟中，\(\hat{\sigma}_u^2=0\) 出现非平凡的概率）。Wald 统计量依赖于无约束的、非边界处的估计和其渐近正态性，但在这个问题上，渐近分布并非简单的正态。
  3. 结果：Wald 统计量的分布不是 \(\chi^2_1\)；它往往在零假设下产生一个严重偏大的拒绝频率（即检验水平膨胀），或者在备择弱信号下严重偏低的检验功效。本文通过计算这个模型的精确协方差结构，展示了信息矩阵的退化如何扭曲 Wald 统计量的量级。

• LRT 的成功：

  • 似然比统计量 \(LR = 2 \log (L(\hat{\theta}_{ML}) / L(\theta_0))\) 自然地在有约束的参数空间 \(\Theta\) 内进行最大化。当 \(\hat{\sigma}_u^2\) 在边界上时，\(L(\hat{\theta}_{ML})\) 和 \(L(\theta_0)\) 的区别很小，但它正确地处理了“不能为负”的约束。
  • 根据 Self & Liang (1987)，在此简单情况下，\(LR\) 的渐近分布是 \(0.5 \chi^2_0 + 0.5 \chi^2_1\)，即在 \(H_0\) 下，有 50% 的概率 LR 统计量等于零（当 \(\hat{\sigma}_u^2=0\) 时），有 50% 的概率是 \(\chi^2_1\) 分布。这个混合分布完全是由边界几何（一个半平面）决定的。Wald 统计量因为没有这种自洽的“投影”机制，所以失败了。

总结：本例揭示了问题的最小内核：参数空间边界处的“角”或“曲面”几何，与 Wald 统计量所假设的平坦、全维度的“切空间”几何之间的不匹配。这个不匹配在方差分量问题上极其显著，因为零假设下的真实信息矩阵是奇异的，这使得 Wald 统计量的构造基础本身崩溃了。而 LRT 通过在原始约束参数空间内进行优化，自动地将这种几何“内化”，从而获得了正确的渐近分布。

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三、这篇论文做了什么（本次重心，务必讲透）

• 三句话：
  1. 研究了什么问题：本文从根本上解析了为什么在包含多个变异来源的模型中，Wald 统计量对方差分量的显著性检验给出糟糕评估，并指出其根源在于零假设下参数空间边界的非典型几何（信息矩阵退化 + 边界非光滑）。
  2. 核心工具/方法：本文使用解析几何和线性代数作为工具，通过两个极其简单的线性混合模型（单层嵌套和交叉分类）计算其似然函数、Fisher 信息矩阵和方差分量估计的协方差结构，以此直接展示 Wald 统计量的失败机制。
  3. 主要结论：结论是清晰的几何解释：在零假设边界处，参数空间被“压缩”为一个更低维的流形或一个点，导致费希尔信息矩阵退化；Wald 统计量不能适应这种几何约束，因此其渐近分布标准 \(\chi^2\) 近似完全失效。相比之下，LRT 通过在有约束的参数空间内进行优化，自然适应了边界几何，其混合 \(\chi^2\) 渐近分布正确。结论呼应并加强了 Dickey (2020) 的建议：始终使用 LRT 进行方差分量评估。

关键设定与假设

在第二节最简例子的基础上，本文实际上补充了另一个模型以展示不同的几何异常：

• 模型 A（嵌套结构，如上例）：这是第二节的模型，产生了“边界是一个角”的几何。在 \(H_0:\sigma_u^2=0\) 处，参数空间是一个以 \(\sigma_e^2\) 轴为边的“半平面”。
• 模型 B（交叉分类结构）：一个 \(a \times b\) 的完全随机交叉分类模型，即 \(Y_{ij} = U_i + V_j + \epsilon_{ij}\)，其中 \(U_i \sim N(0, \sigma_u^2)\), \(V_j \sim N(0, \sigma_v^2)\)，\(\epsilon_{ij} \sim N(0, \sigma_e^2)\)，且三者独立。
  • 假设：参数空间是 \(\Theta = \{(\sigma_u^2, \sigma_v^2, \sigma_e^2): \sigma_u^2 \geq 0, \sigma_v^2 \geq 0, \sigma_e^2 > 0\}\)。研究的零假设是 \(H_0: \sigma_u^2 = 0, \sigma_v^2 \geq 0\)（仅处理一个方差分量是否为零）。
  • 核心几何洞察：在零假设 \((0, \sigma_v^2, \sigma_e^2)\) 处，参数空间 \(\Theta\) 的边界不是简单的“半平面”，而是一个二维光滑曲面（由 \(\sigma_u^2=0\) 决定）。参数空间在 \(H_0\) 点的切锥是一个三维空间，但其切空间是三维的，而边界是一个二维子流形。更关键的是，费希尔信息矩阵在 \(H_0\) 点不退化（它是满秩的），但 Wald 统计量依然失败。这是因为其构造需要用到 \(H_0\) 下参数的无约束估计（即 \(\hat{\sigma}_u^2\) 可以为负），而实际模型里它不能为负，导致 Wald 统计量的分布不是 \(\chi^2_1\)，而是发生了变形。这展示了比信息退化更微妙的“边界曲率”问题。
• 数值假设：本文主要进行精确的理论推导（通过分析期望和方差），没有进行大样本的模拟验证。它假设读者对贝叶斯和频率学派的检验方法有基本了解，并且接受“零假设下的 MLE 的渐近分布是混合 \(\chi^2\)”这一结果（引自 Self & Liang, 1987）。

主要结果

• 定理 1（针对模型 A）：

  • 陈述：通过精确计算，在零假设 \(H_0:\sigma_u^2=0\) 下，Wald 统计量的期望值与 1 有系统偏差，而其方差远大于 1（对于标准 \(\chi^2_1\)，期望=1，方差=2）。
  • 直觉：由于信息矩阵退化，分子分母的估计不稳定，导致统计量扭曲。
  • 必要条件：模型 A 的特定结构（随机截距 + 组内相关）导致了信息矩阵奇异性。当组内相关系数为零时，该退化消失。
  • 解决的技术难点：展示了如何通过封闭形式推导出 Wald 统计量的精确一阶、二阶矩，这依赖于关键时刻将协方差矩阵转化为可计算的结构（谱分解）。

• 定理 2（针对模型 B）：

  • 陈述：在零假设 \(H_0:\sigma_u^2=0\) 下，尽管 Fisher 信息矩阵非奇异，Wald 统计量的渐近分布仍然不是 \(\chi^2_1\)；它呈现出更大的变异和偏度。
  • 直觉：即使信息矩阵退化消失，零假设下参数空间边界（\(\sigma_u^2=0\)）的 “弯曲”几何 依然破坏 Wald 统计量的标准近似。Wald 统计量的构造基于参数空间的切空间，而不是实际约束空间；当边界是曲面时，切空间无法正确反映约束，导致估计的方差过大。
  • 必要条件：交叉分类设计导致了参数估计的复杂依存性，使得 \(\hat{\sigma}_u^2\) 即使在备择假说下也偏向于边界。
  • 解决的技术难点：展示了通过偏差计算+期望方差计算来捕捉分布的形状，而非仅仅计算矩。证明了 \(\hat{\sigma}_u^2\) 的渐近分布是截断正态（在边界处有质量堆积），而 Wald 统计量无法正确捕获这个截断。

证明路线与技术技巧

• 整体路线：

  1. 模型设定与谱分解：对两个模型（模型 A 和 B）进行谱分解（傅立叶变换），将原始复杂相关观测 \(Y\) 变换为 独立或近似独立的谱域，使得协方差矩阵对角化。这是处理线性混合模型的经典技巧。
  2. 计算可观测量的期望：利用谱域密度函数，直接计算 Wald 统计量（以及 LRT，但作为对比）的精确或渐近的期望和方差。关键技巧是利用卡方随机变量的条件期望。
  3. 揭示信息矩阵退化与几何后果：计算在 \(H_0\) 下的 Fisher 信息矩阵 \(I(\theta_0)\)。对于模型 A，证明 \(I(\theta_0)\) 关于 \(\sigma_u^2\) 的对角元素为零，导致信息矩阵奇异。对于模型 B，证明 \(I(\theta_0)\) 非奇异，但参数估计的方差 \(Var(\hat{\sigma}^2_u)\) 的渐进值与 Wald 统计量假设的标准值不同。
  4. Wald 统计量的精确分布推导（模型 A）：利用谱分解，推导出 Wald 统计量的精确表达式，并证明其分布与标准 \(\chi^2_1\) 显著偏离，具体表现为均值偏离 1 和方差大于 2。
  5. 几何解读：最后，将 2-4 步的结果关联到参数空间的几何结构上：信息矩阵退化意味着切锥维度不足；即使不退化，边界曲率也导致估计量的渐近分布非中心化且被截断，从而破坏 Wald 统计量的 standardization。

• 关键跳跃点：

  • 跳跃点 1（对所有模型）：从模型似然到谱域独立性的转化。这个技巧让看似复杂的相关观测下的推断问题，转变成了在独立谱域上的简单计算。难点在于需要知道每个模型下的谱分布。
  • 跳跃点 2（对模型 B）：证明即使信息矩阵非奇异，Wald 统计量的分布仍不正确。作者通过揭示参数估计 \(\hat{\sigma}_u^2\) 的渐近分布是“截断正态”，并且它的渐近方差大于信息矩阵逆的对应对角元，展示了 Wald 失效的另一种（更微妙的）机制。这需要计算估计量的方差，并使用高阶渐近（二阶）展开。作者采用的计算是基于精确矩的推导，而不是渐近理论。

• 技术技巧点名：

  1. 谱分解 / 傅立叶分析：对模型 A 和 B 的协方差矩阵进行对角化，将变量独立化。这是处理线性混合模型的标准工具。
  2. 精确矩计算：对于 Wald 统计量，直接利用谱域下的独立高斯分布和卡方分布的性质，精确计算其期望和方差，而不依赖于渐近近似。
  3. 边界条件分析：意识到在零假设处，参数估计 \(\hat{\sigma}^2_u\) 的分布被截断在 0（不能为负），从而分析其矩时，必须考虑这种截断效应。这在几何上对应于参数空间的边界是吸收壁。
  4. 偏差-方差折衷：本文的分析本质上是在展示，对于 Wald 统计量，其偏差（由截断和几何约束引起）和方差（由信息矩阵退化或非中心性导致）之间的相互作用，破坏了其构建的基础（即估计量在无约束下中心极限定理成立）。

真实例子与应用（有就一定要讲）

本文为纯理论、无实证例子。

🔎 结论是否比证明窄

• 结论（应被严格证明的部分）：在两个简单模型下，Wald 统计量的分布不是标准 \(\chi^2_1\)，LRT 的分布是混合 \(\chi^2\)。
• 证明的情况：对于模型 A 和 B，本文提供了 精确的期望和方差推导，以及基于这些矩的论证，来展示分布形状的偏离。例如，它展示了 Wald 统计量的期望并不等于 1，方差远大于 2。但这不等于严格证明了它在大样本下趋向于某个具体非标准分布（例如它可能不是简单的尺度或位置变换，而是完全不同的族）。作者承认了这一局限性：对于真实有限样本，矩信息不足以完全刻画分布。论文的主要贡献在于提供了一种深刻直观的几何理解，并通过数值模拟（文中未呈现）的“印象”进行佐证。
• 更窄的结论：论文的主要贡献在于“提供了一种清晰、一步到位的几何理解”，并强调了“只要存在一个方差分量在边界上，Wald 统计量就失效”。然而，它的证明是基于具体的、简单的模型。对于任意复杂模型的推广，作者承认需要数值验证。因此，结论在严格意义上严格限于这两个模型，尽管作者认为其几何本质具有普适性。

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四、开放问题

1. 推广到非嵌套 / 非标准方差分量结构：本文解决了嵌套和交叉结构的两个简单模型，但在更复杂的纵向/聚类模型（如 AR(1) 随机效应，或块对角随机效应）中，Wald 失效的几何表现是否完全相同？需要超过两个随机项的模型，其参数空间边界是非凸的复杂区域，本文的解析方法不再直接适用。（扎根于：结论中“arbitrary complexity”的数值验证建议。）

2. Wald 统计量的修正或替代方案：既然 Wald 完全失败，是否存在某种“校正的 Wald 统计量”（例如通过 bootstrap 或 sandwich 估计器），能够恢复其在边界假设下的正确渐近分布？本文只是建议使用 LRT，但并未探索这个可能性。（扎根于：结论中“a suitable likelihood-ratio test should always be used”的强硬建议。）

3. 边界假设下的通用几何理论：除了方差分量，还有哪些常见的参数模型在零假设下呈现出 Ward 失效的通用几何特征（如切线锥退化/边界曲率）？是否可以发展一个统一的几何理论，通过计算参数空间在零假设点的“一阶”和“二阶”切空间信息，来判断 Wald 统计量的渐近分布是否依然可用？（扎根于：引文中的 Self & Liang (1987) 的通用渐近理论在方差分量模型中的“非典型性”表现。）

4. 高阶渐近与效率：在边界假设下，Wald 统计量的效率损失（相比于 LRT）是 O(1) 还是随着样本量增加而消失？更一般地，能否在非/半参数框架下讨论边界假设下的效率界？（扎根于：本文对 Wald 的“失效”是基于有限样本的矩偏差；大样本下，如果边界假设下 LRT 的渐近效率是 0.5 χ², 那么 Wald 是否趋于 0 速度的收敛？这个问题亟待进一步分析。）

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