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Power and sample size calculations for rerandomization

作者: Zach Branson, Xinran Li, Peng Ding
来源: Biometrika
主题: 因果推断
相关性: 7/10
链接: 期刊页 · arXiv

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

Rerandomization 是一种实验设计策略：在 treatment-control 实验中，不直接使用第一次随机化分配，而是反复随机化直到协变量在两组间达到预先指定的平衡准则（例如马氏距离小于某个阈值），然后用该“合格”的随机化进行实验。核心问题是：这种设计下的统计推断（估计、置信区间、假设检验）与功效分析（power analysis，即给定效应大小、显著性水平，需要多少样本才能以一定概率拒绝零假设）是什么？本文正是填补了功效分析这一环节的空白。

发展脉络

奠基工作: Morgan & Rubin (2012) 首次系统提出 rerandomization，指出它能提升因果效应估计量的精度。但其理论分析依赖有限样本参数假设（正态协变量、加性因果效应）。

主要进展：渐近理论体系的建立: Li, Ding & Rubin (2018) 是理论转折点——他们去掉了参数模型假设，在有限总体随机化推断框架下给出了 rerandomization 下difference-in-means 估计量的非标准渐近分布（是截断正态分布或更一般的椭圆对称分布），并证明了双侧置信区间窄于完全随机化。随后的工作将这一理论框架扩展到各种变体：分层实验 (Wang et al., 2021)、因子实验 (Li et al., 2020)、序列实验 (Zhou et al., 2018)、整群实验 (Lu et al., 2022)、高维协变量 (Branson & Shao, 2021; Zhang et al., 2021) 等。这些工作的共同点是从“估计精度”（variance reduction）角度量化 rerandomization 的好处。

当前 Frontier: 推断的保守性与功效分析的分歧点: 此前文献普遍重申“rerandomization 至少与完全随机化一样高效”（variance 不增）。但 Ding et al. (2019) 指出，尽管 rerandomization 缩减了方差，但它也改变了估计量的分布形状——尾部变得更薄但非线性——这可能导致以相同名义水平做推断时实际 Type-I error 更低（即更保守）。这一保守性是本文的核心出发点。本文位置：在前人已建立 rerandomization 估计与推断理论的基础上，首次系统回答“功率是多少”、“样本量怎么算”。

子线索聚类

  1. Rerandomization 的推广与变体设计：包括分层 (Wang et al., 2021)、因子 (Li et al., 2020)、序列 (Zhou et al., 2018)、整群 (Lu et al., 2022)、高维协变量 (Branson & Shao, 2021; Zhang et al., 2021)。这些工作核心是扩展框架，保持方差收缩的优势。
  2. Treatment effect heterogeneity（异质性）的理论与推断：Ding et al. (2016, 2019) 系统定义了总体方差分解（系统 vs. 异质），并给出了 randomization-based 的估计和检验方法。本文直接引用了 Ding et al. (2019) 的结论“\(S_\tau^2 \ge S_{\bar{\tau}}^2\)”来推导异质性参数的可识别边界。
  3. 实验功效分析：经典的 Cohen (1969) 和更近年针对复杂实验的 work (Jiang & Imai, 2020; Schochet, 2022)。本文属于这条线在 rerandomization 上的首次开创。

核心追问与瓶颈

  • 如何量化 rerandomization 的“保守性”？ 即，在名义显著性水平下，实际 Type-I error 降了多少？这是本文关键的技术问题。
  • Treatment effect heterogeneity 如何影响功率？ 直觉上 heterogeneity 增加方差、降低功率；但本文发现它反而可能在某些情况下提升功率，是非单调的。
  • 如何将推断的保守性和 heterogeneity 的影响解析地纳入样本量公式？ 之前的工作没有给出封闭形式的功率或样本量表达式。
  • 瓶颈: 之前无法直接套用完全随机化的功率公式，因为 rerandomization 下的估计量分布不是正态分布，而是一种“截断后”的非标准分布（涉及二次型）。本文通过将 heterogeneity 参数化并利用奇异的高斯近似绕过了这一困难。

⚠️ 作者的 framing

作者的说法: “虽然 rerandomization 已被广泛用于实验设计，但我们还不知道需要多少样本才能达到所需的 power。” 作者将缺口 frame 为：前人只关心 point estimation 和 variance reduction，但“完全忽略了 power analysis 这一实验设计的基本环节”。他们宣称这是“power analysis for rerandomization 的第一篇系统工作”。

淡化/回避的竞争路线: 作者几乎只聚焦于经典的马氏距离 rerandomization，即平衡所有协变量“均衡”。对更复杂的平衡准则（如 tiered rerandomization, ridge rerandomization, PCA rerandomization），作者只在引言末尾一句带过“未来的工作可推广”，并未在本篇中处理。这实际上将论文限制在了最简洁、最经典的设定上。

值得查的问题: 作者引用了“Blocking can be less efficient than complete randomization if the blocks are poorly chosen” (Pashley & Miratrix, 2022)，但未说明 rerandomization 是否有类似的弱点：即，如果协变量与结果的相关性很弱，rerandomization 的方差缩减优势会大打折扣，而作者是在“最优协变量”的框架下推导。未见有工作系统比较 rerandomization 与其他设计（如 blocking）在 power analysis 框架下的优劣。

张力

未见明显对立引用。文献内部一致性较强，都支持 rerandomization 缩减方差、提升精度。唯一的“张力”是作者自己指出的：保守性导致小效应下功率反而降低，但这不是文献间的矛盾，而是本文发现的新现象。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

先交代符号、模型、可观测数据

  • 记号:

    • \(N\): 总样本量（有限总体）。
    • \(i = 1, \dots, N\): 单位下标。
    • \(\mathbf{X}_i \in \mathbb{R}^p\): 第 \(i\) 个单位的 \(p\) 维协变量（可观测）。
    • \(W_i \in \{0, 1\}\): 处理分配指示变量（1=处理，0=对照）。由 rerandomization 机制决定。
    • \(Y_i(0), Y_i(1)\): 第 \(i\) 个单位在对照和处理下的潜在结果（不可同时观测）。
    • \(Y_i = W_i Y_i(1) + (1 - W_i) Y_i(0)\): 可观测结果。
    • \(\tau_i = Y_i(1) - Y_i(0)\): 个体处理效应。
    • \(\bar{\tau} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \tau_i\): 有限总体平均处理效应 (ATE) ——目标 estimand。
    • \(\hat{\tau} = \frac{1}{N_t} \sum_{i: W_i=1} Y_i - \frac{1}{N_c} \sum_{i: W_i=0} Y_i\): difference-in-means 估计量，\(N_t, N_c\) 分别为处理和对照组的样本量（这里假设 \(N_t = N_c = N/2\) 即平衡设计，是全文的主要设定）。
    • \(M\): 马氏距离，\(M = (\bar{\mathbf{X}}_t - \bar{\mathbf{X}}_c)^\top \hat{\Sigma}_{\mathbf{X}}^{-1} (\bar{\mathbf{X}}_t - \bar{\mathbf{X}}_c)\)，其中 \(\bar{\mathbf{X}}_t, \bar{\mathbf{X}}_c\) 是协变量组均值，\(\hat{\Sigma}_{\mathbf{X}}\) 是协变量协方差矩阵的经验估计。
    • \(a\): 平衡准则阈值。随机化被接受当且仅当 \(M \le a\)。
    • \(p_a = P(M \le a)\): 接受概率。

  • 模型（有限总体，design-based）：

    • 总体 \(\mathcal{P} = \{(Y_i(0), Y_i(1), \mathbf{X}_i)\}_{i=1}^N\) 是固定的、非随机的。
    • 随机性仅来自处理分配 \(W_i\)。在 rerandomization 下，\(W_i\) 不是完全独立/随机的，而是在条件“马氏距离 \(\le a\)”下的条件随机化。
    • 关键识别假设：不存在交互（即结果的个体效应是固定的，不依赖于其他人的处理分配），由 randomization-based 框架自动满足。
    • 不需要超总体模型。

  • 可观测数据:

    • 实际观测到：对于每个单位，有 \((\mathbf{X}_i, W_i, Y_i)\)。
    • 观测不到：\(Y_i(0)\) 和 \(Y_i(1)\) 不能同时观测（因果推断的根本缺失数据问题）；个体处理效应 \(\tau_i\) 不可观测。
    • 想要但观测不到：总体的异质性参数 \(S_\tau^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (\tau_i - \bar{\tau})^2\)，即个体处理效应的方差（以及 \(S_{\tau}\)）。本文的核心推导依赖于加入一个关于 \(\tau_i\) 的可识别假设（如 Ding et al., 2019 的分解 \(\tau_i = \bar{\tau} + \epsilon_i\) 且 \(\epsilon_i\) 与 \(Y_i(0)\) 有某种结构）。

讲最小内核：一个协变量、正态近似、无 heterogeneity 的简单情形

我们剥去 heterogeneity 和高维协变量的复杂性，考虑最简特例：

设定: 总体个数 \(N\) 很大，但只有 \(p=1\) 个协变量 \(X_i\)。假设 \(X_i\) 满足在完全随机化下 \(\bar{X}_t - \bar{X}_c \sim N(0, 2 \sigma_X^2 / N)\)（即正态近似成立，这里 \(\sigma_X^2\) 是 \(X_i\) 的总体方差）。假设处理效应是常数的，即 \(\tau_i = \bar{\tau}\)（无 heterogeneity）。

Rerandomization 准则: 要求马氏距离 \(M = (\bar{X}_t - \bar{X}_c)^2 / (2 \hat{\sigma}_X^2 / N) \le a\)，其中 \(\hat{\sigma}_X^2 \approx \sigma_X^2\)。即，要求待选分配的 \(\bar{X}_t - \bar{X}_c\) 的绝对值不超过一个阈值。

感兴趣的 estimand: \(\bar{\tau}\)。我们关注检验 \(H_0: \bar{\tau} = 0\) 的功率。

此时的核心问题是什么？ - 在完全随机化下，\(\hat{\tau} \sim N(\bar{\tau}, \sigma_Y^2 \cdot \text{const.})\), \(\sigma_Y^2\) 是 \(Y_i(0)\) 的方差。功率有封闭形式。 - 在 rerandomization 下，我们不再使用所有随机化，而是只保留那些马氏距离小的分配。这意味着 \(\hat{\tau}\) 的分布不再是正态，而是截断后的正态分布（因为协变量和结果相关，过滤了协变量不平衡的分配也过滤了那些估计量偏差大的分配）。更精确地说，\(\hat{\tau}\) 的分布近似为：

\[\hat{\tau} \mid \{M \le a\} \quad 近似于 \quad N(\bar{\tau}, V_{\text{rerand}})\]
其中 \(V_{\text{rerand}} < V_{\text{comp}}\)（方差缩减了）。

怎么做功率分析？ 1. 推导 \(V_{\text{rerand}}\) 的解析式：Li et al. (2018) 已证明，在无 heterogeneity 时，方差缩减因子是 \(1 - \frac{c_a}{a}\)，其中 \(c_a\) 是只依赖于 \(a\) 的常数。即 \(V_{\text{rerand}} = (1 - R^2) V_{\text{comp}}\)，其中 \(R^2\) 是 \(Y\) 对 \(X\) 回归的 \(R^2\)。 2. 计算功率：由于 \(\hat{\tau}\) 仍然近似正态，功率 \(\text{Power} = \Phi\left( \frac{|\bar{\tau}|}{\sqrt{V_{\text{rerand}}/N}} - z_{\alpha/2} \right)\)，其中 \(z_{\alpha/2}\) 是标准正态的临界点。 3. 反求样本量：令 \(\text{Power} \ge 1 - \beta\)，解出所需的 \(N\)。

这就是无 heterogeneity 时最简情形的功率公式。它与完全随机化的形式完全相同，只是方差项取代了。这篇论文的核心工作就是在这个基础上加入“treatment effect heterogeneity”这个“配料”，使得分布发生质变——不再单纯是方差缩减，而是分布形状改变了（变得保守），从而功率在小效应时反倒降低。

三、这篇论文做了什么

三句话

  1. 研究问题：在 rerandomization 实验设计下，推导 power（功效）与样本量计算公式，特别关注 treatment effect heterogeneity 对 power 的非平凡影响。
  2. 核心方法：推导 rerandomization 下差估计量 \(\hat{\tau}\) 的渐近分布（非标准，涉及二次型截断），并在此基础上解析地表达 Type-I error（保守性） 和 power，最终给出可求逆的样本量公式。
  3. 主要结论：发现一个反直觉结果——对非常小的处理效应，rerandomization 的功率可能低于完全随机化；treatment effect heterogeneity 对功率的影响是双面性的（大效应时提升、小效应时降低）。

关键设定与假设

在第二节最小记号基础上，补全完整设定：

  • 平衡准则：采用经典的马氏距离阈值 \(a\)（决定 \(p_a = P(M \le a)\)）。作者假设 \(p_a\) 被固定，且不随 \(N\) 增长而趋近于 1（若 \(p_a \to 1\) 则退化到完全随机化）。这与 Li et al. (2018) 一致。
  • 有限总体设定：总体 \(\mathcal{P}\) 固定，随机性仅来自 \(W_i\)。使用有限总体中心极限定理 (Li & Ding, 2017) 来保证 \(\hat{\tau}\) 的渐近正态性（在完全随机化下）。
  • 关键假设：
    1. 平衡设计：处理组和控制组样本量相等 (\(N_t = N_c = N/2\))。这是为了简化马氏距离的表达式，作者在附录中提到了不平衡情形的推广。
    2. 协方差矩阵可逆：\(\Sigma_X\) 正定，以保证马氏距离有定义。
    3. 可识别性 heterogeneity 参数：作者引入一个“常见”的参数化模型 \(\tau_i = \bar{\tau} + \epsilon_i\)，其中 \(\epsilon_i\) 是均值为0的随机项，且假设 \(\epsilon_i\) 与 \(Y_i(0)\) 的关系可以通过一个参数 \(\rho\) 来刻画（实际上他们使用了 Ding et al. (2019) 提出的分解 \(S_\tau^2 = S_{\bar{\tau}}^2 + S_{\tau - \bar{\tau}}^2\)，其中 \(S_{\bar{\tau}}^2\) 是“系统的”由协变量 \(X\) 解释的方差部分，\(S_{\tau - \bar{\tau}}^2\) 是“异质的”剩余部分）。这是本文真正的假设创新点——前人忽略或不讨论 heterogeneity，本文必须对它做出可定量描述。
  • 相比已有文献放宽或强化了哪些：
    • 强化：相比 Morgan & Rubin (2012) 的高斯假设，本用渐近理论（有限总体 CLT）放宽了分布假设；但引入了 heterogeneity 参数化，这是更强的结构性假设（虽然不关心其真实值，但要能解析写出它对分布的影响）。
    • 弱化：相比 Li et al. (2018) 的推断理论（仅关注置信区间），本文首次将其用于功率分析并引入 heterogeneity。一个未明确强调的弱化是：作者假设协变量 \(X\) 与结果 \(Y\) 的线性关系（通过马氏距离的方差缩减 \(R^2\) 隐含了）。

主要结果

定理 1（渐近分布）：在 rerandomization 下，\(\hat{\tau}\) 的渐近分布不再是正态，而是一个以 \(\bar{\tau}\) 为中心、方差为 \(V_{\text{comp}} - \frac{c_a}{a} R^2 V_{\text{comp}}\) 但带截断修正的分布（当有 heterogeneity 时，截断是对复合二次型）。作者给出了其分布的表达式，其中核心是中心极限定理下的二次型近似。

定理 2（Type-I error 保守性）：对于检验 \(H_0: \bar{\tau}=0\) 且使用标准正态临界值 \(z_{\alpha/2}\)：当无 heterogeneity 时，实际 Type-I error 低于名义水平 \(\alpha\)（即测试过于保守）。保守程度由 \(R^2\) 和 \(p_a\) 决定。这是本文的关键发现之一，并直接驱动了后续的功率反直觉现象。

定理 3（Power 公式）：在给定 \(\bar{\tau}, R^2, S_\tau^2, p_a, N\) 和名义显著性 \(\alpha\) 下，功率的渐近表达式为：

\[\text{Power} \approx \Phi\left( \frac{|\bar{\tau}|}{\sqrt{V_{\text{eff}}/N}} - z_{\alpha_{\text{eff}}/2} \right)\]
其中 \(V_{\text{eff}}\) 是 heterogeneity 调整后的有效方差，\(\alpha_{\text{eff}}\) 是调整后的有效显著性水平（考虑了保守性）。公式的具体形式依赖两个参数：系统异质性参数 \(R^2\) 和剩余异质性参数 \(\gamma = S_{\tau-\bar{\tau}}^2 / \sigma_Y(0)^2\)。

定理 4（样本量公式）：通过逆推定理3，给出给定 Power = \(1-\beta\) 时所需样本量 \(N\) 的表达式。该表达式对于常用的 \(p_a\) 和 \(R^2\) 值可以用数值方法快速求解。

核心反直觉结果的解析说明： 当 \(\bar{\tau}\) 很小时，\(z_{\alpha_{\text{eff}}/2}\) 对于 \(\alpha=0.05\) 可能是 \(z_{0.02}\) 而不是 \(z_{0.025}\)（即更严格）。这个更严格的临界点直接使得检验拒绝区域变小，从而即使 rerandomization 缩减了方差（\(\sqrt{V_{\text{eff}}/N}\) 变小），但临界点移位带来的负面效应在足够小的 \(\bar{\tau}\) 下可能超过方差缩减的好处，导致功率低于完全随机化。

证明路线与技术技巧

整体路线（3-5 步逻辑主干）： 1. 建立 rerandomization 下 \(\hat{\tau}\) 的条件分布：首先推导在“马氏距离 \(M \le a\)”条件下，\(\hat{\tau}\) 的联合分布与 \(M\) 的关系。利用 Li et al. (2018) 的结论：在无 heterogeneity 时，\(\hat{\tau}\) 与 \(M\) 是独立的（当协变量和结果在有限总体中给定后，这是一个二次型的条件独立性）。关键跳跃：加入 heterogeneity 后，这种独立性被打破，因为个休效应 \(\tau_i\) 引入了新的随机性。 2. 处理 heterogeneity 带来的耦合：作者将 heterogeneity 拆解为“系统部分”（与协变量相关）和“剩余部分”（独立于协变量）。系统部分可以通过马氏距离的条件过滤被部分“吸收”，而剩余部分独立于 \(M\) 并按照其自身的正态近似影响估计量的方差。通过这种分解，作者将 \(\hat{\tau}\) 的分布写成了两个独立变量的和：一个是函数 of \(M\)（来自系统部分），另一个是独立正态项（来自剩余部分）。 3. 推导 \(M\) 的条件分布：既然 \(\hat{\tau}\) 被分解了，它的条件分布就可以通过对 \(M\) 的分布进行截断然后取条件期望来得到。\(M\) 的条件分布是一个非中心卡方分布（但中心化后有偏移，依赖于 \(\bar{\tau}\) 和 \(S_\tau^2\)）。作者利用二次型的矩生成函数或特征函数推导了其条件矩。 4. 计算 Type-I error 和 Power：有了条件分布（或其近似），Type-I error 就是 \(\hat{\tau}\) 实际分布中落在名义临界值之外的概率。作者利用贝叶斯定理或直接对条件分布进行积分，得到封闭型（或易于数值计算的）近似表达式。Power 则是在备择假设 \(\bar{\tau} \neq 0\) 下类似的概率计算。 5. 反求样本量：将 Power 公式中对 \(N\) 的依赖显式化。由于公式是单调的，可以通过二分法或 Newton 迭代快速求解 \(N\)。

关键跳跃点: - 跳跃点1: 处理 heterogeneity 对 \(\hat{\tau}\) 与 \(M\) 条件独立性的破坏。作者通过在 \(\hat{\tau}\) 的分解中分离出“与 \(M\) 相关的部分” 绕过了这个困难。这是一种“去相关”技巧，本质上是将 \(\hat{\tau}\) 投影到 \(M\) 生成的空间和它的正交补上。 - 跳跃点2: 推导 \(M\) 的条件分布表达式（特别是在 heterogeneity 下）。标准结果是 \(M\) 在完全随机化下是卡方分布，但在 rerandomization 下是截断卡方。作者通过特征函数和积分近似得到了封闭的渐近公式。

技术技巧点名: - 有限总体中心极限定理 (Li & Ding, 2017)：用于证明 \(\hat{\tau}\) 和 \(M\) 的联合正态近似。 - 二次型的渐近分布：用于处理马氏距离。 - 投影与正交分解：用于分离与 \(M\) 相关的系统 heterogeneity 部分。 - 条件期望和特征函数近似：用于推导截断分布的矩。

真实例子与应用

本文包含一个模拟研究，没有真实数据案例。模拟目的有两个： 1. 验证理论公式的准确性：他们生成了不同 \(N\)、不同 \(\bar{\tau}\)、不同 \(R^2\) 和 \(S_\tau^2\) 的数据，比较了通过理论公式计算的 power 和通过大量 rerandomization 模拟得到的 power。结果发现理论公式在大样本下（\(N\) 几百以上）与模拟值吻合得很好。 2. 展示反直觉结果：在模拟中固定 \(N\) 和 \(R^2\)，针对 \(\bar{\tau}\) 由小到大的变化，绘制了完全随机化和 rerandomization 的 power 曲线。在 \(\bar{\tau}\) 很小（接近0）的区域，rerandomization 的曲线确实低于完全随机化曲线，验证了本文的核心理论发现。 3. 说明 heterogeneity 的双面性：同样的模拟中，保持其他条件相同时，人为增大 heterogeneity 参数 \(\gamma\)（即剩余异质性），观察到：当 \(\bar{\tau}\) 较大时，power 提升；当 \(\bar{\tau}\) 很小时，power 下降。

这个例子想说明什么：验证理论公式的正确性，并生动展示“多大 effect size 下 rerandomization 反而不好”以及“heterogeneity 怎么改变这一关系”。

🔎 结论是否比证明窄

是的，值得注意： - 局限1：作者的理论推导对 \(\hat{\tau}\) 的分布假设了“协变量 \(X\) 和潜在结果 \(Y(0)\) 的线性关系足以刻画方差缩减”。这在马氏距离 rerandomization 下是成立的，但 \(R^2\) 总是可定义的（即，最坏情况下的线性预测能力）。但对于非线性关系（例如，一个协变量对结果的预测是曲线的），rerandomization 的方差缩减可能不完全由线性回归的 \(R^2\) 解释。作者在结语中提到“我们假设了线性调整”，但没有给出纯非线性情形的讨论。所以，那些“power improvement is guaranteed”的 claim 严格只在“线性预测关系”下成立。 - 局限2：对 heterogeneity 的模型假设——“\(\tau_i = \bar{\tau} + \epsilon_i\) 且 \(\epsilon_i\) 与 \(Y_i(0)\) 独立（或通过一个可参数化相关系数关联）”是一个很强的简化。作者在引言中提到“Ding et al. (2019) noted that \(S_\tau^2 \ge S_{\bar{\tau}}^2\)”，所以他们不是不知道相互作用形式更复杂。他们选择了最简单的可识别形式来获得解析解，但结论是否对更一般的 heterogeneity 结构（如异方差、非线性交互）鲁棒，论文没有证明，只在附录里顺带提了一句“模拟未发现违背”。 所以表头结论“heterogeneity has a two-sided effect”是基于该特殊模型的。 - 局限3：作者是针对“平衡设计（\(N_t = N_c = N/2\)）”和“固定 \(p_a\)（接受概率）”做的可操作推导。他们未给出 \(p_a\) 变化时（例如，\(p_a\) 很小意味着非常严格的平衡）公式的显式行为。实践中常用 \(p_a = 0.001\)。公式在极端严格的平衡下是否稳定，需要额外检查。

四、开放问题（点到为止，扎根具体语句）

  1. 非平衡设计的 power 公式：本文假设 \(N_t = N_c\)。在实践中，处理组和对照组样本量往往不相等（如 cluster 实验中）。能否将公式推广到 \(N_t \neq N_c\) 的通用情形？ 这是作者在附录中自己指出的局限（“Extension to unbalanced designs is left for future work”）。

  2. 更一般协变量平衡准则的推广：作者只用了标准的马氏距离。而对于 tiered rerandomization (Morgan & Rubin, 2015) 或 ridge rerandomization (Branson & Shao, 2021)，power 公式会变成什么样？需要推导在这些更复杂准则下 \(\hat{\tau}\) 的渐近分布和相应的功率公式。

  3. heterogeneity 的更精细建模与识别：本文对 heterogeneity 假设了一个线性可加的结构。但在许多实际场景中，heterogeneity 可能与协变量有复杂的交互。能否基于因果森林、BART 等非参数方法为 heterogeneity 建模，并在 rerandomization 下做 power analysis？ 这需要更重的计算和理论。

  4. 统计-计算权衡的视角？ （这一条是给研究者加的，原文未提到）rerandomization 的计算成本是 \(O(1/p_a)\) 的——\(p_a\) 越小，需要尝试的随机化次数越多。而 \(p_a\) 增大（更松的平衡）则会降低方差缩减、增加所需样本量。因此，rerandomization 本身就存在一个 “计算成本 vs 样本量节约” 的 tradeoff。能否用信息-计算 gap 的语言来刻画这一权衡？ 即：达到给定 power，rerandomization 需要多少额外的计算（尝试次数）来换取样本量的减少？这首要需要将 rerandomization 的计算模型明确化（例如，算法类是什么？）。对研究者而言，这是一个可以连接其弱熟练方向（统计-计算权衡）和强熟练方向（因果推断估计理论）的 potential 新问题。

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