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Doubly-robust inference and optimality in structure-agnostic models with smoothness

作者: Matteo Bonvini, Edward H. Kennedy, Oliver Dukes, Sivaraman Balakrishnan
主题: 效率理论 / Debiased ML
相关性: 9/10
链接: https://arxiv.org/abs/2405.08525

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

本论文研究的核心问题是：在观察性研究中，如何最优地估计平均处理效应（ATE）——具体来说是 E{E(Y | A=1, X)}，以及如何基于此构建有效的置信区间。这一问题处于因果推断、半参数效率理论和非参数估计的交汇处。当前成熟度：该领域已有非常成熟的标准方法（如 AIPW），但其在“最坏情况”下的最优性（minimax optimality）以及能否突破“双稳健”推理的经典边界（即两个 nuisance 函数的误差乘积必须快于 n^{-1/2}）仍是活跃的研究前沿。

发展脉络

  1. 奠基工作：经典双稳健估计量与效率理论

    • Robins et al. (1994) 等：提出了 AIPW（augmented IPW）估计量，它具有“双稳健”性质——只要倾向得分或结果回归之一被正确指定，估计量就是一致的。其核心是基于参数 ψ 的一阶影响函数（influence function）。该估计量在非参数模型中是半参数有效的。
    • Kennedy (2022), Newey (1990), Tsiatis (2006) 等：系统阐述了半参数效率理论，确立了 var(φ)（影响函数的方差）作为任何正则估计量的渐近方差下界。

  2. 主要进展 I：结构辅助下的高阶改进

    • Robins et al. (2008, 2009a,b, 2017a,b) 等：当对 nuisance 函数（如 ω, µ）有额外的结构假设（如 Hölder 光滑性、稀疏性）时，经典的 AIPW 不再是最优的。他们发展了“高阶影响函数”（HOIF）理论，通过构造基于高阶 U-统计量的估计量，可以比 AIPW 更快地收敛，并达到由结构假设决定的 minimax 速率。作者指出：“Under structural assumptions on the nuisance functions, the AIPW estimator is typically not minimax-optimal, and improvements can be made using higher-order influence functions” (1.3节)。留下的口子：这些方法本质上利用了 ω 和 µ 的结构，当这些结构未知或不成立时，HOIF 的优势可能不再存在。

  3. 主要进展 II：结构无关框架下的双稳健推理改进

    • Van der Laan (2014); Benkeser et al. (2017); Dukes et al. (2021) 等：另一条线路专注于即使在 ω 或 µ 之一被误指定（不一致）时，也能实现 √n-一致的推断。他们提出了基于 TMLE 或回归调整的估计量。作者指出他们的 estimator “remain √n-consistent and asymptotically normal even when either bπ or bµ (but not both) is misspecified” (4.2节)。留下的口子：这些方法通常依赖于复杂的高阶条件（如对生成的回归变量（generated regressors）的估计误差有精确控制），且其理论分析不够透明（“their results are in terms of high-level conditions and the convergence properties of their algorithms are not fully analyzed” 4.2节）。

  4. 当前 Frontier（直接的前身）：结构无关类（Structure-Agnostic Class）中的最优性

    • Balakrishnan et al. (2023); Jin & Syrgkanis (2024)：研究了一个“纯结构无关”的分布类 P(ϵ_n, δ_n)——它只假设 ∥bω − ω∥ ≤ ϵ_n 和 ∥bµ − µ∥ ≤ δ_n，对 ω 和 µ 本身无任何结构假设。他们证明，在此框架下，ATE 估计量的 minimax 下界恰好是 n^{-1/2} + ϵ_nδ_n，而 AIPW 可以达到这一速率。作者指出：在纯结构无关类中，“the rate achieved by the AIPW estimator is already optimal”，并且“nonparametric, doubly-robust root-n inference is possible only if one relies on additional conditions” (2.1节)。留下的口子：这一下界可用一个“非光滑”的分布构造来证明。它揭示了，如果不引入额外假设，想在物料函数估计速度慢时实现双稳健 √n 推理是不可能的。

本文的位置

作者正是要填补这个“口子”——他们定义了一个新的混合分布类 P_{ωµ}(ϵ_n, δ_n)，它保留了结构无关类的误差速率信息，但额外施加了关于 f_ω 和 f_µ（涉及生成的协变量的条件期望函数）的 Hölder 光滑性假设。在此混合类中，他们证明了 ATE 的 minimax 下界是 n^{-1/2} + (ϵ_n^2 ∧ δ_n^2)，这比纯结构无关类的 n^{-1/2} + (ϵ_n δ_n) 小很多（当 ω 或 µ 中的一个比另一个好估计时）。接着，他们构造了一个新估计量 ψ̂（基于双核 U-统计量），证明了其收敛速率在光滑性条件下可以达到 n^{-1/2} + (ϵ_n^2 ∧ δ_n^2)，从而在混合类中是最优的。

子线索聚类

  1. 基于高阶影响函数（HOIF）的方法：以 Robins 团队为代表，利用 U-统计量对 R_n 进行高阶修正，以利用 ω 和 µ 自身的结构。
  2. 基于双稳健推理的修正方法：以 Benkeser 等人为代表，专注于在某一物料函数被误指定时的 √n 推断，通常基于 TMLE 或回归调整。
  3. 结构无关框架下的最优性理论：以 Balakrishnan 等人为代表，只使用误差速率信息，揭示 AIPW 的最优性，并证明双稳健 √n 推断在结构无关假设下是做不到的。

方向追问的核心问题

  1. ATE 估计的 minimax 最优速率是什么？ 它取决于对 nuisance 函数的假设（结构、光滑性、速率）。
  2. 在什么条件下，双稳健 √n 推理是可能的？ 经典答案是 ∥bω − ω∥∥bµ − µ∥ = o_P(n^{-1/2})。本文的混合类证明，如果引入关于 f_ω 和 f_µ 的假设，即使单个物料函数以 n^{-1/4} 速率收敛也能实现。
  3. 显著提升标准 AIPW 估计量的关键在于什么？
    • 在结构无关框架下：不可能——AIPW 已是最优。
    • 在结构辅助框架下：需要多次修正（HOIF） 或利用生成回归变量的光滑性。
  4. 构造新估计量的通用方法是什么？ 是“one-step”修正（如本文的 ψ̂），还是更复杂的迭代过程（如 TMLE）？

作者的 Framing

  • 作者如何定位自己：作者把缺口 frame 成“结构无关类中双稳健 √n 推理不可能”，但“通过引入一个自然且直观的平滑性假设（关于 f_ω 和 f_µ），可以打破这一不可能性”，从而将其论文构建成“显然的下一步”。
  • 被淡化的竞争路线：HOIF 方法被描述为“has its own merits”但需要关于 ω 和 µ 的结构假设且可能在高维中复杂；Benkeser 等人的方法被描述为“conditions are hard to justify”。作者强调自己的贡献在于提出了一个更透明的模型（混合类）和分析了一个“one-step”估计量，而不是迭代的算法。
  • 什么明显该被引 / 该存在、却没出现在 intro 里？ 未见明显缺失的引用。所有提到的关键工作（HOIF, Dukes et al., Benkeser et al., Balakrishnan et al., Jin & Syrgkanis）都被正确地定位。唯一的新引用是 van der Laan et al. 2024，它在本文发布后被添加到讨论中（“a new pre-print by van der Laan et al. 2024 has been uploaded; tackling a similar problem”）。
  • 未见明显对立引用：不同子线的工作互相补充，没有在同一假设集下得出明显矛盾的结论。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：把符号、模型、可观测数据交代清楚

  • 符号

    • A: 二元处理变量 (A ∈ {0, 1})。
    • X: 协变量向量 (X ∈ R^d)。
    • Y: 结果变量。
    • Y^1, Y^0: 潜在结果 (counterfactual, 不可观测)。
    • n: 样本量。
    • P, P_n: 分布与经验分布。
    • ψ: 目标参量，ATE，即 E(Y^1 - Y^0)。等同 E{ E(Y | A=1, X) } = E{ µ(X) }。
    • π(X) = P(A=1 | X): 倾向得分。
    • ω(X) = 1/π(X): 倾向得分的逆，记为 ω。
    • µ(X) = E(Y | A=1, X): 结果回归。
    • φ(O) = A ω(X) {Y - µ(X)} + µ(X): ψ 的（未中心化）影响函数。
    • D_n: 用于训练 nuisance 函数估计量 bω, bµ 的独立样本。
    • O_n: 用于计算 ATE 估计量的主样本。
    • R_n = P(bφ - φ): 给定 D_n 后，AIPW 估计量的条件偏置。
    • ∥·∥: L_2(P) 范数。
    • ϵ_n, δ_n: 分别表示 ∥bω - ω∥ 和 ∥bµ - µ∥ 的收敛速率上界。

  • 模型

    • 数据生成机制：O = (Y, A, X) ∼ P，其中 X 有密度 f(x)，A|X ∼ Bernoulli(π(X))，Y|A=1, X ∼ Bernoulli(µ(X))（为简单证明，作者假设 Y 是二元的）。分布 P 属于某个未知但受约束的集合。
    • 因果识别假设：一致性、无未测量混杂 (A ⟂⟂ Y^a | X)、正值性 (0 < π(X) < 1)。
    • 分析框架：
      1. 将一个独立样本 D_n 用于训练 bω(x) 和 bµ(x)。
      2. 另一个独立样本 O_n 用于估计 ψ。
      3. bω 和 bµ 以已知速率 ϵ_n 和 δ_n 收敛到其极限 ω 和 µ。

  • 可观测数据

    • 可观测：研究者实际观测到的是(Y_i, A_i, X_i) 的 n 个 iid 样本。这是因果推断的典型设定。
    • 不可观测 / 潜在：Y^0_i, Y^1_i（潜在结果），以及总体分布 P 本身是未知的。还有，bω 和 bµ 的极限 ω 和 µ 也不一定是真实的 ω 和 µ（比如在误指定情况下）。
    • 关键分离：在分析时，D_n 被视为固定（条件） 的，因此 bω, bµ, ω, µ 都是确定性的函数。所有概率运算都是条件于 D_n 进行的。

第二步：讲最小内核

  • 最简特例（分化情况）：本文的核心不是一个简单特例的推广，而是对偏置项 R_n 的更精细刻画。因此最小内核是：

    • 核心难句：估计 ψ 的核心困难在于偏置项 R_n，它等于 ∫ (bω - ω)(µ - bµ) g dx（式 (2)）。标准 AIPW 通过 Cauchy-Schwarz 将 |R_n| 界在 ∥bω - ω∥∥bµ - µ∥ 内，从而要求 ∥bω - ω∥∥bµ - µ∥ = o(n^{-1/2})。如果其中一个估计得慢（如 ∥bµ - µ∥ = O(n^{-0.2})），即使另一个估计得完美（∥bω - ω∥ = 0），乘积仍可能不满足条件。

    • 本文的关键想法：重写 R_n。例如，利用 f_ω(t_1, t_2, t_3) = E(µ - bµ | A=1, bω = t_1, ω = t_2, bµ = t_3)，可以写出 R_n = E{ (A bω - 1) f_ω(bω, ω, bµ) | D_n }。作者发现，如果 f_ω 是 Hölder 光滑的（关于其参数），那么通过核平滑方法构建 f_ω 的估计量，就可以得到一个 R_n 的估计，其误差不再由 ∥bω - ω∥∥bµ - µ∥ 乘积主导，而是由 (∥bω - ω∥^2) 等更小的项主导。

    • 极端简单情形：假设 ω 已知（即 bω = ω），且 µ 的估计很差（∥bµ - µ∥ 很大）。

      • 经典 AIPW：|R_n| ≤ ∥bω - ω∥ ∥bµ - µ∥ = 0，所以 AIPW 表现良好。这正是“双稳健”的体现。
      • 混合类情形（核心创新）：假设 ω 的估计同样差（∥bω - ω∥ ≈ ∥bµ - µ∥ ≈ n^{-r}，且 r > 1/4），但 f_ω 是 Lipschitz（α=1）。作者的 ψ̂ 估计量的偏置为 |E(ψ̂ - ψ)| ≲ ∥bω - ω∥^2 = n^{-2r}。当 r > 1/4 时，n^{-2r} = o(n^{-1/2})，从而实现了 √n 一致！而标准 AIPW 的偏置 |R_n| ≲ n^{-2r} 也是 o(n^{-1/2})，所以两者性能似。真正的优势在于：假设 bω 的估计极好（∥bω - ω∥ = 0），但 bµ 的估计极差（∥bµ - µ∥ = O(1)）。
      • 经典 AIPW：|R_n| = 0，表现完美。
      • 混合类情形：ψ̂ 的偏置 |E(ψ̂ - ψ)| ≲ ∥bµ - µ∥^2 = O(1)，表现很差。
      • 混合类中的另一面：假设 bµ 估计差（O(1)），但 bω 估计好（∥bω - ω∥ = n^{-r}）。此时，经典 AIPW 偏置仍为 0，但 ψ̂ 的偏置 ≲ (n^{-r})^2 = n^{-2r}，这比 O(1) 好得多！关键在于，ψ̂ 的偏置由 (∥bω - ω∥^2) ∧ (∥bµ - µ∥^2) 控制，而标准 AIPW 由 ∥bω - ω∥∥bµ - µ∥ 控制。

    • 为什么能这样：在混合类 P_{ωµ}(ϵ_n, δ_n) 中，f_ω 和 f_µ 是平滑的，这允许 $ ̂ψ$ 的核估计量有效地“利用”平滑性，从而将估计 R_n 的误差从乘积形式降为平方形式。这使得当一个物料函数（如 bω）估计得好时，即使另一个（bµ）估计得极差，也能得到显著提升。

三、这篇论文做了什么

  • 三句话： ① 研究了在一种融合“结构无关”与“光滑性”的混合分布类 P_{ωµ}(ϵ_n, δ_n) 中，平均处理效应 (ATE) 的minimax 最优估计与推断问题。 ② 核心方法是构造一个基于核平滑的 U-统计量 Tn，作为对 bψ_DR 偏置 R_n 的修正，形成一个新估计量 bψ。 ③ 主要结论是：在此混合类中，bψ 的收敛速率达到了 minimax 下界 n^{-1/2} + (ϵ_n^2 ∧ δ_n^2)，从而验证了其最优性，并证明了在轻光滑性条件下（如 α=β=1，h ≍ n^{-1/4}），当 ∥bω − ω∥ = o(n^{-1/4}) 或 ∥bµ − µ∥ = o(n^{-1/4}) 时，可实现双稳健 √n 渐近线性（DRAL），即使另一个物料函数不收敛。

  • 关键设定与假设：在第二节最小记号基础上，完整设定为：

    • 核心类 P_{ωµ}(ϵ_n, δ_n)：
      • 条件 1（结构无关部分）：supp ∥bω − ω∥ ≤ ϵ_n 且 supp ∥bµ − µ∥ ≤ δ_n。
      • 条件 2（光滑性部分）：f_ω(t1, t2, t3) 和 f_µ(t1, t2, t3)（定义见 3.1节）是 Hölder 光滑的（阶 α，β）。
      • 这是一个新的、倚赖于数据（通过 bω, bµ）的函数类。
    • 假设：
      • 样本分割：bω, bµ 在独立于主样本 O_n 的训练样本上估计。
      • 有界性：Y,\(ω\), bω 等有界。
      • 核：有界、对称、紧支撑的核 K。
      • 密度条件：E{A_j K_h(...) | ...} ≲ 1 且 Q(...) 有界非零（3.2、3.3节）。
      • Lipschitz 密度：(bω, bµ) 的条件密度是 Lipschitz 的（Propositon 5）。
      • 收敛条件：nh^2 → ∞ 等。

  • 主要结果

    1. Minimax 下界（Proposition 2）：
      • 在 P_{ωµ}(ϵ_n, δ_n) 下，ATE 估计的 minimax 下界是 n^{-1/2} + (ϵ_n^2 ∧ δ_n^2)。这比纯结构无关类 P(ϵ_n, δ_n) 的下界 n^{-1/2} + (ϵ_n δ_n) 要好 (当 ϵ_n ≠ δ_n 时)。
    2. 新估计量 bψ 的速率（Proposition 5）：
      • 偏差上界：|E(bψ - ψ | D_n)| ≲ (h^β ∥bµ - µ∥ + ∥bµ - µ∥^{1+β} + ∥bω - ω∥∥bµ - µ∥/√(nh^2)) ∧ (h^α ∥bω - ω∥ + ∥bω - ω∥^{1+α})。
      • 当 α=β=1，h ≍ n^{-1/4}，且 ∥bµ - µ∥ = o(n^{-1/4}) 时，偏差变为 ≲ h ∥bµ - µ∥ + ∥bµ - µ∥^2 + ∥bω - ω∥/n^{1/4}。若 ∥bω - ω∥ = o(n^{-1/4}) 或 ∥bµ - µ∥ = o(n^{-1/4})，则偏差 = o(n^{-1/2})。
      • 方差上界：var(bψ | D_n) ≲ n^{-1} + (n^3 h^2)^{-1/2} + ∥bω - ω∥^2 ∥bµ - µ∥^2 (n h^2)^{-1}。当 h = o(1) 且 nh^2 → ∞ 时，方差由第一项主导，所以 bψ 是 √n 一致的。
    3. 双稳健渐近线性（Remark 6, Proposition 5）：
      • 在上述条件下，√n(bψ - ψ) = √n(P_n - P)(φ - φ_{ωµ}) + o_P(1)，从而 √n(bψ - ψ) ⇝ N(0, var(φ - φ_{ωµ}))。这意味着无论 bω 或 bµ 中哪一个估计得不好（只要另一个好且满足光滑性），都能构建有效的 Wald 置信区间。
    4. 数值模拟 (Section 5)：在 2d Logistic 模型设定下，当倾向得分 (bπ) 或结果回归 (bµ) 被误指定（即以缓慢速率 n^{-r}, r 为 0 或 0.3）时，bψ 的区间覆盖与 drtmle 包的性能相当，且显著优于标准的 bψ_DR，后者在任一物料函数误指定时覆盖严重不足。

  • 证明路线与技术技巧

    • 整体路线：

      1. 偏置重写：将 AIPW 的偏置 R_n 用新的光滑函数 f_ω 和 f_µ 重写。
      2. U-统计量构造：构建 Tn（一个 U-统计量）来估计 R_n，其核基于核函数 K_h，旨在局部平均 (Y - bµ) 或 (Abω - 1) 在生成的协变量 (bω, bµ) 上。
      3. 偏置分析：证明 |E(Tn | D_n) - R_n| ≲ h^α ∥bω - ω∥ + ∥bω - ω∥^{1+α} 等。核心是利用 f_ω 的 Hölder 性质，将偏差转化为与 bω 误差平方相关的项。
      4. 方差分析：分解 bψ - ψ，分离出 (P_n - P) (φ - φ_{ωµ})（主导方差项），并证明其余项（由 Tn 与 R_n 的差异、经验过程项、高阶项）是 o_P(n^{-1/2})。
      5. 线性展开：最终得到 √n(bψ - ψ) 的线性展开，从而得到渐近正态性。

    • 关键跳跃点：

      1. 第二个表达式中的 R_n：如何将 R_n 与 f_ω, f_µ 关联起来。这本质上是一个条件期望的重写（3.1节）。
      2. U-统计量的性质：如何巧妙地设计 Tn 使它能直接估计 f_ω或 f_µ，然后通过平方光滑性将 |E(Tn) - R_n| 从 O(∥bω - ω∥∥bµ - µ∥) 降为 O(∥bω - ω∥^2)。这是整篇论文最关键的洞察。
      3. 处理生成的回归变量（Generated Regressors）：对 (bω, bµ) 进行核平滑，但 bω 和 bµ 本身是估计量，不是普通协变量。作者通过利用训练样本 D_n 的独立性以及在核方法中的光滑化，来绕开“组内非光滑”问题。具体体现在对 T2, T3 项的处理（C.4.1节）。

    • 技术技巧点名：

      • U-统计量 (Hoeffding 分解)：Tn 的核心结构是 U-统计量，其渐近性质通过 Hoeffding 分解来分析。
      • 核平滑 (Kernel Smoothing)：Tn 中的 K_h 用于局部平均生成的协变量 (bω, bµ)。
      • 高阶影响函数 (HOIF) 思想：作者明确指出 bψ 融合了 HOIF 的“修正 \(R_n\)”思想（来自 Robins 等人）和双稳健推断的“仅依赖一个物料函数”思想（来自 Benkeser 等人）。
      • 经验过程（Empirical Process）：在偏差分析中，如 (P_n - P)(bφ - φ) 项的处理，使用条件于训练集的 Empirical Process 界限（Lemma 3, 来自 Kennedy et al. 2020）。
      • 切比雪夫/马尔可夫不等式：用于将 o_P 句转化为具体速率界限的推导（C.2.3节）。
      • 生成回归变量 (Generated Regressors)：对 E(Y|bω) 之类的回归进行核平滑，需要 carefully 处理组内相关性，作者利用 bQ 的构造和独立性条件来绕过主要困难（cite Mammen et al. 2012）。

  • 真实例子与应用: 有。论文 Section 5 包含一个模拟实验：

    • 数据: X=(X1, X2) 均匀分布，Y 二值，µ(X), π(X) 为 Logistic 线性模型。
    • 设定: bπ 和 bµ 被构造为以不同速率（n^{-r}）收敛到真值，甚至完全不收敛（r=0）。作者测试了四种组合：(r_π=0.3, r_µ=0.3)（均好）、(0.3, 0)、(0, 0.3)（一个好一个坏）、(0, 0)（均坏）。
    • 方法: 将 bψ（本文估计量）、bψ_DR（标准 AIPW）、drtmle（Benkeser 等人实现的双稳健 TMLE）以及 oracle（已知真物料函数）进行对比。
    • 结果:
      1. 在 (0.3, 0.3) 情况下，所有方法都表现良好（区间覆盖接近 0.95）。
      2. 在 (0.3, 0) 或 (0, 0.3) 情况下，bψ_DR 的覆盖严重下降（约 0.5），而 bψ 和 drtmle 的覆盖保持接近 0.95。
      3. 在 (0, 0) 情况下，所有方法覆盖都有所下降，但 bψ 和 drtmle 覆盖在~0.7-0.8，而 bψ_DR 覆盖为~0.5（图 3）。
    • 想说明什么：这个例子实验性地验证了 bψ 的“双稳健 √n 推断”性质。它说明，当至少一个物料函数（如 bπ）以 n^{-0.3} = n^{-3/10} = o(n^{-1/4}) 速率收敛时，bψ（以及 drtmle）依然可以覆盖总体参数，从而在有限样本中证实了理论速率分析。这是一个强有力的实证支持。

  • 结论是否比证明窄？

    • 是。Propositon 5（上界）的成立依赖于很强的假设：比如 f_ω 和 f_µ 的 Hölder 光滑性 阶数 α, β ∈ [0, 1]。作者讨论说高阶光滑性能用高阶核利用，但同时在 remark 4 中坦言：”Attempting to track higher order smoothness ... may have benefits ... We leave the study of higher-smoothness regimes for future work.“ 这表明论文的最优性结论实际上只在 \(α,β≤1\) 的“低阶平滑”范围内被严格证明，这比论文表面声称的“匹配下界”要窄。下界（Proposition 2）只假设 \(f_ω, f_µ\) 是“arbitrarily smooth”（任意光滑），而上界证明只处理了 \(α,β≤1\)。

四、开放问题（点到为止，扎根具体语句）

  1. 扩展下界到混合阶数（Mixed Smoothness）：Proposition 2 的下界证明假设 \(f_ω\) 和 \(f_µ\) 都具有某种任意平滑性。实际应用中可能是单一平滑（例如只有 \(f_ω\) 平滑）。扎根点：Section 2.2 的论述中说 "a more structure-agnostic way ... would be to simply impose a rate condition ... We leave this refinement for future work"。

  2. 高维与稀疏性：本文的 \(R_n\) 估计依赖于对 (bω, bµ) 的二维核平滑，这在 d 维协变量 X 下会退化。如何扩展到更高维？扎根点：Introduction 中说 “Our work is distinct from this stream of literature as we do not posit high dimensional models”，但同时又指出“such models are allowed”，说明这确实是待解决问题。

  3. 带宽选择的理论：作者承认“Choosing h can be nontrivial”且“How to choose the bandwidth in practice remains largely an open question”（3.3节）。扎根点：Section 3.3 末尾。

  4. 有限样本下的更高阶平滑：作者只分析了 \(f_ω\) 的一阶 (\(α≤1\)) 的情况。当 \(α>1\) 时，理论是否可通过使用高阶核对齐？扎根点：Remark 4 指出的“this higher-order smoothness could then be exploited using higher-order kernels ... but our analysis suggests that the bound on the bias would still contain terms of order \(∥bω-ω∥^{1+(α∧1)}\)”。这表明在高平滑性下，常规的 ∥bω-ω∥^2 下界可能不是真正的瓶颈。

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