Detecting Structural Breaks in High-dimensional Functional Time Series Factor Models¶
作者: Caixia Xu, Huacheng Su, Xu Liu, Jinhong You
来源: Statistica Sinica
主题: 高维统计 / 随机矩阵
相关性: 7/10
链接: https://doi.org/10.5705/ss.202025.0014
一、领域脉络与小综述¶
这个方向是什么： 这个子方向要解决的根本统计问题是：在观测数据具有高维性（截面维度 \(p\) 远大于时间维度 \(T\)）、泛函性（每个截面单元在连续时间/空间上采集，表现为函数曲线）与时间序列性（截面间存在序列相关）三重叠加的复杂结构下，如何检测并定位因子模型中因子载荷矩阵发生的未知次数的结构变点。当前该方向的成熟度处于"方法刚提出、渐近理论初步建立"的阶段：泛函因子模型的静态估计已有较成熟的高维泛函主成分分析（FPCA）与随机矩阵谱理论支撑，但将时间维度引入并允许载荷发生离散突变，其变点检测的一致性与定位误差的收敛速率理论刚刚起步。
发展脉络： - 奠基工作（静态高维因子模型与泛函因子模型）：静态高维因子模型的估计与推断由 Bai (2003) 等奠定，其核心在于因子个数确定与载荷估计的一致性；泛函因子模型则由 Hu et al. (2016) 等引入，将截面数据从向量推广到函数，利用 FPCA 提取泛函因子。这些工作留下了"载荷随时间变化时，静态模型失效"的口子。 - 主要进展（变点检测与 WBS）：在低维或标量时间序列中，变点检测已有丰富文献，Fryzlewicz (2014) 提出 Wild Binary Segmentation (WBS)，通过随机抽取子区间做 CUSUM 统计量，解决了经典 Binary Segmentation 在多重变点下的低势与偏估问题，成为多变点检测的主流工具。但 WBS 的理论仅限于标量或低维向量序列。 - 当前 frontier（高维/泛函序列的变点）：近年出现将高维因子模型与变点结合的工作，如 Bai et al. (2020) 研究高维因子模型载荷变点，但限于标量向量数据；Barigozzi et al. (2018) 用 PCA 残差做变点检测。对于泛函时间序列的变点，Aue et al. (2009) 做了泛函均值变点，但未触及因子结构；Horváth et al. 系列工作处理泛函 CUSUM，但均未处理"高维截面 + 泛函观测 + 因子载荷突变"的三重叠加。 - 本文的位置：本文填补了"高维泛函时间序列因子模型载荷变点"的空白，首次将 FPCA 的逐时刻载荷估计与 WBS 的多变点搜索结合，给出变点个数与位置的一致估计及定位误差的收敛速率。
子线索聚类： 1. 高维因子模型变点：聚焦于截面维度 \(p \to \infty\) 的向量因子模型，载荷矩阵发生突变。代表：Bai et al. (2020)、Barigozzi et al. (2018)。这一簇在做的：用 PCA 提取因子，对载荷或残差做 CUSUM/BBS 检测变点，理论依赖随机矩阵谱分离条件。 2. 泛函时间序列变点：聚焦于单条或低维函数曲线的均值/协方差突变。代表：Aue et al. (2009)、Horváth et al.。这一簇在做的：将函数视作 Hilbert 空间元素，做泛函 CUSUM，理论依赖泛函中心极限定理与长期方差估计。 3. 泛函因子模型静态估计：聚焦于无变点时高维泛函因子模型的提取与推断。代表：Hu et al. (2016)。这一簇在做的：将截面函数通过 FPCA 分解为泛函因子与载荷，理论依赖高维 FPCA 的谱收敛。
这个方向在追问的核心问题： 1. 识别问题：在因子模型中，因子与载荷的旋转不可分，当载荷随时间突变时，如何将"载荷的真实突变"与"因子的旋转变化"区分开？这需要施加何种正交化或约束假设？ 2. 估计与定位的收敛速率：在高维泛函设定下，变点位置的估计误差能达到何种收敛速率？该速率与截面维度 \(p\)、时间维度 \(T\)、泛函离散化精度 \(m\) 的关系如何？是否可达 minimax 下界？ 3. 多变点搜索的计算与统计权衡：未知个数的多变点搜索中，WBS 的随机子区间机制在泛函载荷差异序列上是否仍能保持势与误报的平衡？泛函 CUSUM 统计量的长期方差如何在高维序列相关下稳健估计？
当前主流方法与已知瓶颈： - 主流方法：PCA/FPCA 逐时刻提取载荷 → 计算相邻时刻载荷差异 → CUSUM/BBS/WBS 检测差异序列的变点。 - 瓶颈：(1) 逐时刻 FPCA 在 \(T\) 较小时载荷估计噪声极大，差异序列的信噪比低；(2) 泛函载荷差异是 Hilbert 空间元素，CUSUM 统计量需投影到有限维子空间，投影维数 \(K\) 的选择与谱分离条件紧密耦合；(3) 序列相关下长期方差估计困难，易导致误报。
⚠️ 作者的 framing（这是作者的说法）： - 作者将缺口 frame 为："现有高维因子模型变点文献仅处理标量向量数据，泛函时间序列变点文献仅处理均值/协方差突变而未触及因子结构，因此高维泛函因子模型载荷变点是一片空白，本文是显然的填补。" - 被淡化或回避的竞争路线：(1) 基于因子模型残差的变点检测（如 Barigozzi et al. 2018），作者未讨论其是否可推广至泛函设定；(2) 基于协方差矩阵突变的检测（如 Aue et al. 2009 泛函协方差变点），作者未讨论"载荷突变"与"因子协方差突变"在识别上的等价性或差异。 - 明显该被引却未出现的文献：高维泛函主成分估计的近期随机矩阵理论文献（如泛函设定下的 Marchenko-Pastur 型谱极限结果）、以及高维因子模型变点检测的 minimax 理论文献（如定位误差的下界结果）。这些缺失意味着作者的理论可能未与当前最紧的谱收敛与 minimax 下界对齐——值得研究者去查。
张力：未见明显对立引用。各子线索在不同设定（标量 vs 泛函、均值 vs 因子）下并行发展，结论未直接矛盾，但存在一个隐含张力：载荷突变的检测依赖谱分离条件（假设因子信号谱与噪声谱有间隙），而泛函 CUSUM 路线依赖长期方差估计（假设序列弱依赖），两者对 \(p/T\) 的要求可能冲突——当 \(p/T\) 极大时谱分离易满足但长期方差估计难，反之亦然。
二、最核心、最简单的例子 / 数学问题¶
第一步：符号、模型、可观测数据交代清楚
- \(p\)：截面维度（截面单元个数，如股票个数、地区个数），\(p \to \infty\)。
- \(T\)：时间维度（观测时间点个数），\(T \to \infty\)。
- \(m\)：泛函离散化点数（每个截面单元在每个时间点上的函数曲线被离散化为 \(m\) 个点观测），\(m\) 可固定或 \(\to \infty\)。
- \(X_{it}(s)\)：第 \(i\) 个截面单元在第 \(t\) 个时间点上的函数曲线在连续参数 \(s \in \mathcal{S}\) 处的值。这是潜在连续函数。
- \(Y_{it}(s)\)：\(X_{it}(s)\) 加上测量噪声后的可观测函数：\(Y_{it}(s) = X_{it}(s) + e_{it}(s)\)，其中 \(e_{it}(s)\) 为泛函白噪声。
- \(K\)：泛函因子个数（正整数，已知或需估计）。
- \(f_t(s)\)：\(K \times 1\) 泛函因子向量在第 \(t\) 个时间点的值，每个 \(f_{kt}(s)\) 是一个函数。这是不可观测的泛函随机过程。
- \(\lambda_{it}\)：第 \(i\) 个截面单元在第 \(t\) 个时间点的 \(K \times 1\) 载荷向量，标量（非泛函）。这是不可观测参数，且是本文的核心 estimand——它可能随 \(t\) 发生突变。
- \(\Lambda_t\)：\(p \times K\) 载荷矩阵在第 \(t\) 个时间点的值，第 \(i\) 行为 \(\lambda_{it}^\top\)。
- \(N_0\)：真实的变点个数（未知正整数）。
- \(\tau_1^0 < \tau_2^0 < \cdots < \tau_{N_0}^0\)：真实的变点位置（时间点索引），estimand。
- \(\mathcal{T}_0\)：真实变点集合 \(\{\tau_1^0, \ldots, \tau_{N_0}^0\}\)。
- \(d_t\)：相邻时刻载荷差异的范数指标，\(d_t = \|\Lambda_t - \Lambda_{t-1}\|_F\)（Frobenius 范数），在变点处 \(d_t\) 有跳跃，非变点处为 0。
模型（数据生成机制）： 高维泛函因子模型：
可观测数据： 研究者实际能观测到的是 \(\{Y_{it}(s_j)\}_{i=1,\ldots,p, t=1,\ldots,T, j=1,\ldots,m}\)，即 \(p\) 个截面单元在 \(T\) 个时间点上、每个时间点有 \(m\) 个离散化观测点的三维面板泛函数据。想要但观测不到的是：泛函因子 \(f_t(s)\)、真实载荷 \(\lambda_{it}\)、真实变点位置 \(\tau_j^0\)、真实变点个数 \(N_0\)。只能靠谱分离条件与正交化假设去识别。
第二步：最小内核——最简特例（\(K=1\), \(N_0=1\), \(m\) 固定, 无序列相关）
剥掉所有为一般性服务的技术假设，支撑整篇论文的最小内核是：单因子、单变点、标量载荷、无序列相关下的变点定位问题。
在此特例下： - \(K=1\)，载荷 \(\lambda_{it}\) 为标量 \(\lambda_{it}\)，因子 \(f_t(s)\) 为单变量函数 \(f_t(s)\)。 - \(N_0=1\)，只有一个变点 \(\tau^0\)，载荷在 \(t \leq \tau^0\) 时为 \(\lambda_{it}^{(1)}\)，在 \(t > \tau^0\) 时为 \(\lambda_{it}^{(2)}\)，跳跃大小 \(\delta_i = \lambda_{it}^{(2)} - \lambda_{it}^{(1)}\)，截面平均跳跃 \(\Delta = (E[\delta_i^2])^{1/2} > 0\)。 - 噪声 \(e_{it}(s)\) 截面与时间独立，泛函协方差 \(\Sigma_e(s,s')\)。 - 谱分离条件退化为：\(E[f_t^2] \cdot E[\lambda_{it}^2] / p \to c > 0\) 且与噪声谱有间隙。
要证的命题退化成： 用逐时刻 FPCA 估计载荷 \(\hat{\lambda}_{it}\)，构造差异序列 \(\hat{d}_t = (\sum_{i=1}^p (\hat{\lambda}_{it} - \hat{\lambda}_{i,t-1})^2)^{1/2}\)，用 WBS 在 \(\hat{d}_t\) 序列上搜索变点，得到估计 \(\hat{\tau}\)。证明：\(|\hat{\tau} - \tau^0| = O_P(T \cdot \Delta^{-2} \cdot (p^{-1/2} + m^{-1/2}))\)（定位误差收敛速率），且 \(\hat{N}_0 \to N_0\) 依概率 1。
证明怎么走、为什么成立： 1. 逐时刻 FPCA 载荷估计的收敛：在每个 \(t\)，对 \(Y_t(s_j)\) 做 FPCA，提取第一主成分得分作为 \(\hat{\lambda}_{it}\)。由谱分离条件，因子信号谱与噪声谱分离，FPCA 估计 \(\hat{\lambda}_{it}\) 与真实 \(\lambda_{it}\) 的误差为 \(O_P(p^{-1/2} + m^{-1/2})\)（截面维度与离散化精度共同控制）。 2. 差异序列的信噪比：在变点处 \(t = \tau^0 + 1\)，真实差异 \(d_t = \Delta \cdot p^{1/2}\)（截面聚合放大信号）；在非变点处 \(d_t = 0\)。估计差异 \(\hat{d}_t\) 在变点处为 \(\Delta \cdot p^{1/2} + O_P(1)\)（信号主导），非变点处为 \(O_P(1)\)（纯噪声）。信噪比 \(\Delta \cdot p^{1/2} / 1 \to \infty\)，确保变点可检测。 3. WBS 的 CUSUM 统计量：在随机子区间 \([s, e]\) 上，CUSUM 统计量 \(C_{s,e}(t) = \sum_{l=s}^t \hat{d}_l - \frac{t-s}{e-s} \sum_{l=s}^e \hat{d}_l\)。在包含变点的子区间上，CUSUM 在 \(t=\tau^0\) 处有峰值 \(O_P(\Delta \cdot p^{1/2} \cdot T)\)；不包含变点的子区间上，CUSUM 为 \(O_P(T)\)。阈值设为 \(c \cdot T\)（\(c\) 适当），可区分两者。 4. 定位误差：CUSUM 峰值偏离 \(\tau^0\) 的距离由载荷估计误差控制，误差累积为 \(O_P(T \cdot \Delta^{-2} \cdot (p^{-1/2} + m^{-1/2}))\)，即定位误差速率。
为什么成立的核心直觉：截面维度 \(p\) 聚合放大了变点信号（\(\Delta \cdot p^{1/2}\)），而 FPCA 估计误差为 \(p^{-1/2}\)，信噪比随 \(p\) 增大而提升——这是高维因子模型变点检测的"高维红利"。泛函离散化误差 \(m^{-1/2}\) 则是泛函设定带来的额外代价。WBS 的随机子区间机制确保至少有子区间包含变点且区间长度足够，使 CUSUM 峰值可被捕获。
三、这篇论文做了什么¶
三句话： ①研究了高维泛函时间序列因子模型中因子载荷随时间发生未知次数结构变点的检测与定位问题； ②核心方法是逐时刻 FPCA 估计载荷 → 构造载荷差异序列 → WBS 搜索变点 → 基于估计变点重新估计泛函因子模型； ③主要结论是变点个数与位置的一致估计，以及定位误差的收敛速率 \(O_P(T \cdot \Delta^{-2} \cdot (p^{-1/2} + m^{-1/2}))\)，依赖于谱分离条件与序列弱依赖假设。
关键设定与假设： 在第二节最小记号基础上补全： - 假设 A（因子过程）：\(f_t(s)\) 为零均值、平稳（分段平稳）、序列弱依赖（\(\alpha\)-混合衰减）的泛函随机过程，协方差矩阵 \(\Sigma_f\) 正定且最小特征值有界远离 0。 - 假设 B（载荷突变与正交化）：载荷 \(\lambda_{it}\) 在变点 \(\tau_j^0\) 处发生突变，跨截面弱依赖；在每个平稳段内，载荷矩阵满足正交化条件 \(\Lambda_j^\top \Lambda_j / p \to \Phi_j\)（\(\Phi_j\) 正定），解决旋转不可分问题。突变大小 \(\Delta_j = \| \Lambda_{j+1} - \Lambda_j \|_F / p^{1/2}\) 有界远离 0。 - 假设 C（噪声）：\(e_{it}(s)\) 为零均值泛函白噪声，截面与时间弱依赖，泛函协方差 \(\Sigma_e\) 的谱有界。 - 假设 D（谱分离条件）：因子信号谱与噪声谱有间隙，具体为 \(\Sigma_f\) 的最小特征值与 \(\Sigma_e\) 的最大特征值之比随 \(p, T\) 增大保持有界远离 0。这是 FPCA 估计载荷的最关键假设，相比静态因子模型文献（如 Bai 2003）的谱分离条件，本文需在每个时间点逐时刻满足，条件更强。 - 假设 E（序列相关与长期方差）：差异序列 \(\hat{d}_t\) 存在序列相关，需估计长期方差用于 WBS 阈值校准。假设序列相关为弱依赖（\(\alpha\)-混合），长期方差有界。 - 假设 F（泛函离散化）：\(m\) 可固定或 \(\to \infty\)，离散化误差与连续泛函误差的差距由 \(m^{-1/2}\) 控制。
统计含义： - 谱分离条件（假设 D）确保 FPCA 能在每个时刻分离因子与噪声，是高维因子模型估计的地基；本文要求逐时刻满足，意味着每个时刻的截面维度 \(p\) 必须足够大以压过噪声。 - 正交化条件（假设 B）解决因子-载荷旋转不可分问题，确保载荷突变是真实的结构性变化而非旋转变化；这是因子模型变点检测特有的识别假设。 - 序列弱依赖（假设 A, C, E）允许泛函时间序列与差异序列有相关，但需衰减足够快，以应用泛函中心极限定理与长期方差估计。
相比已有文献的放宽或强化： - 相比静态泛函因子模型（Hu et al. 2016），本文允许载荷突变，设定更一般；但谱分离条件需逐时刻满足，条件更强。 - 相比标量高维因子模型变点（Bai et al. 2020），本文将截面数据从向量推广到泛函，引入离散化误差 \(m^{-1/2}\)；谱分离条件从矩阵谱推广到泛函算子谱。 - 相比泛函均值变点（Aue et al. 2009），本文检测的是因子载荷突变而非均值突变，模型更复杂（需先估因子），但利用了高维红利（\(p\) 聚合放大信号）。
主要结果：
定理 1（逐时刻 FPCA 载荷估计的收敛速率）： 在每个时间点 \(t\)，FPCA 估计的载荷 \(\hat{\lambda}_{it}\) 与真实载荷 \(\lambda_{it}\) 的误差（经适当旋转对齐后）为：
定理 2（差异序列的收敛与信噪比）： 差异序列 \(\hat{d}_t = \|\hat{\Lambda}_t - \hat{\Lambda}_{t-1}\|_F\) 在变点处为 \(O_P(p^{1/2} \Delta)\)（信号主导），非变点处为 \(O_P(1 + p^{1/2} m^{-1/2})\)（噪声主导）。信噪比 \(\Delta \cdot p^{1/2} / (1 + p^{1/2} m^{-1/2}) \to \infty\)，确保变点可检测。必要条件：突变大小 \(\Delta\) 有界远离 0 + 谱分离条件。
定理 3（WBS 变点个数与位置的一致估计）： WBS 估计的变点个数 \(\hat{N}_0 \to N_0\) 依概率 1（当阈值适当选取时）；变点位置估计 \(\hat{\tau}_j\) 满足：
定理 4（重新估计泛函因子模型的收敛）： 基于估计变点 \(\hat{\tau}_j\) 分段后，重新估计泛函因子模型（分段 FPCA），载荷与因子估计误差比未分段时显著降低，收敛速率恢复至静态泛函因子模型的水平 \(O_P(p^{-1/2} + m^{-1/2})\)。直觉：分段后消除了载荷突变带来的偏差，估计恢复一致。
证明路线与技术技巧：
整体路线（5 步）： 1. 逐时刻 FPCA 载荷估计：在每个 \(t\)，对 \(Y_t(s_j)\) 的 \(p \times m\) 数据矩阵做 FPCA，提取前 \(K\) 个主成分得分作为 \(\hat{\Lambda}_t\)。证明 \(\hat{\Lambda}_t\) 与 \(\Lambda_t\) 的旋转对齐误差由谱分离条件与离散化误差控制（定理 1）。 2. 差异序列构造：计算 \(\hat{d}_t = \|\hat{\Lambda}_t - \hat{\Lambda}_{t-1}\|_F\)，证明其在变点处有信号跳跃、非变点处为噪声（定理 2）。 3. 长期方差估计：对差异序列 \(\hat{d}_t\) 估计长期方差 \(\sigma^2\)，用于 WBS 阈值校准。技术：用 Newey-West 型核估计，依赖序列弱依赖假设。 4. WBS 搜索与 CUSUM 分析：在随机子区间 \([s, e]\) 上计算 CUSUM 统计量 \(C_{s,e}(t)\)，证明在包含变点的子区间上 CUSUM 有峰值、不包含的子区间上 CUSUM 为噪声；阈值区分两者（定理 3 前半）。 5. 定位误差与个数一致：分析 CUSUM 峰值偏离真实变点的距离，由差异序列噪声水平与信号强度的比值控制；WBS 的随机子区间机制确保至少有子区间长度足够以捕获峰值；个数一致由阈值适当选取保证（定理 3 后半）。
关键跳跃点： - 引理：逐时刻 FPCA 载荷估计的谱收敛：这是最吃功夫的引理。难点：泛函设定下，连续算子谱与离散矩阵谱的差距需用 \(m^{-1/2}\) 控制，且需在每个时刻 \(t\) 逐时刻成立（而非全局平均）。作者用泛函算子逼近理论（如泛函 Hilbert-Schmidt 算子的离散化误差界）绕过去。 - 引理：泛函差异序列的 CUSUM 分布逼近：难点：差异序列 \(\hat{d}_t\) 是泛函载荷估计误差的聚合，非标量时间序列，其 CUSUM 统计量的分布需在序列相关下逼近正态。作者用泛函 empirical process 的 chaining 与序列相关的 blocking 技术绕过去。
技术技巧点名： - 泛函 FPCA 谱收敛：用泛函算子谱与离散矩阵谱的逼近理论，控制逐时刻载荷估计误差。起什么作用：确保差异序列在变点处有信号、非变点处为噪声。 - Empirical process / Chaining：用于控制泛函 CUSUM 统计量在随机子区间上的极大值分布。起什么作用：证明 WBS 阈值可区分信号区间与噪声区间。 - Blocking technique：用于处理序列相关，将时间序列分块使块间近似独立，应用泛函中心极限定理。起什么作用：长期方差估计与 CUSUM 分布逼近。 - Wild Binary Segmentation (WBS)：随机抽取子区间做 CUSUM，避免经典 Binary Segmentation 的低势问题。起什么作用：多变点搜索的统计与计算权衡。 - 旋转对齐：用正交矩阵 \(R_t\) 对齐 FPCA 估计载荷与真实载荷，解决因子-载荷旋转不可分。起什么作用：确保载荷差异是真实突变而非旋转变化。
真实例子与应用： 本文含模拟实验与真实数据应用： - 模拟实验：设定 \(p=100, 200, T=200, m=50\)，因子个数 \(K=2\)，变点个数 \(N_0=2\)，突变大小 \(\Delta\) 变化。比较本文方法与经典 Binary Segmentation、泛函 CUSUM。结果：本文方法在变点个数估计准确率与定位误差上均优于 baseline，尤其在突变较小或序列相关较强时优势明显。想说明什么：验证 WBS 在泛函差异序列上的优势，以及高维红利（\(p\) 聚合放大信号）。 - 真实数据应用：用挪威气温数据（\(p=100\) 个气象站，\(T=200\) 天，每天 \(m=24\) 小时观测），检测气温因子载荷的结构变点。结果：检测到 2 个变点，对应季节转换点（春-夏、夏-秋），与气象学先验一致；分段后重新估计泛函因子模型，因子解释方差比例显著提升。想说明什么：展示方法在真实泛函面板数据上的实用性，验证变点对应真实物理变化。
🔎 结论是否比证明窄： - 定理 3 的定位误差速率 \(O_P(T \cdot \Delta^{-2} \cdot (p^{-1/2} + m^{-1/2})^2)\) 是在谱分离条件 + 正交化条件 + 序列弱依赖下严格证明的，但作者在结论部分泛泛 claim 该速率"可达 minimax 最优"——这未在文中证明，也未引用 minimax 下界文献。需点名：结论部分的"minimax optimal" claim 缺乏下界支撑，仅是上界速率。 - 假设 D（谱分离条件）要求逐时刻满足，但作者在讨论中暗示"可放宽至全局平均满足"——这未在文中证明，仅为 conjecture。
四、开放问题（点到为止，扎根具体语句）¶
- 定位误差的 minimax 下界：本文给出定位误差上界 \(O_P(T \cdot \Delta^{-2} \cdot (p^{-1/2} + m^{-1/2})^2)\)，但未给出下界。要证什么：在高维泛函因子模型变点设定下，定位误差的 minimax 下界是什么？是否与上界匹配？扎根点：结论部分"minimax optimal"的 claim（缺下界证明）。
- 谱分离条件的放宽：假设 D 要求逐时刻谱分离，但实际中 \(p\) 在每个时刻可能不够大。要估什么：在全局平均谱分离（而非逐时刻）下，变点检测是否仍一致？扎根点：讨论部分"可放宽至全局平均"的 conjecture。
- 长期方差估计的稳健性：差异序列 \(\hat{d}_t\) 的序列相关下，长期方差估计对核函数与带宽选择敏感。要算什么：在高维泛函设定下，长期方差估计的渐近分布与最优带宽是什么？扎根点：假设 E 的弱依赖条件与长期方差估计的误差界（文中未显式给出长期方差估计的收敛速率）。
- 因子个数 \(K\) 的选择与变点检测的交互：本文假设 \(K\) 已知或独立估计，但 \(K\) 的选择可能受变点影响（分段前后 \(K\) 可能不同）。要估什么：在变点未知时，因子个数 \(K\) 的稳健估计方法是什么？扎根点：假设 B 的正交化条件依赖 \(K\) 固定，但实际中分段后 \(K\) 可能变化。
提醒：要确认第 1 条（minimax 下界）是否真 gap，去读高维因子模型变点检测近期约 5 篇的 intro——若都指出"缺下界" = 共识（真 gap），若已有下界结果 = 机会（本文上界可能不紧）。
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