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Design-based inference for spatial experiments under unknown interference

作者: Ye Wang, Cyrus Samii, Haoge Chang, PM Aronow
来源: Annals of Applied Statistics
主题: 因果推断
相关性: 8/10
机构绿灯: Yale University（US News 前 50，免分进入精读）
链接: 期刊页 · arXiv

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么

本文研究的子方向是 “空间实验下的因果推断，且干扰（interference / spillover）结构完全未知” 。传统的因果推断依赖“无干扰 (no interference)” 假设，即一个单元的结果只受其自身处理影响。但在空间（或网络）设定中，处理效应会“溢出”：A点受干预会影响B点的结果，B点又可能反过来影响C点。这使得经典估计量（如差分均值）的识别与推断都失效。这个子方向当前已从“讨论干扰是否存在”进展到“在干扰可控但结构未知时，如何严谨地做推断”。

发展脉络 (history)

从奠基到当前前沿，主要可以分为几个阶段：

  1. 奠基：定义直接与间接效应 (Direct & Indirect Effects)：最早由 Halloran & Struchiner (1995) 明确在疫苗试验中提出“直接效应（对接种者）”与“间接效应（对未接种者）”。Hudgens & Halloran (2008) 将其形式化为两阶段随机化下的平均因果效应框架，将“个体处理效应”的概念推广到含干扰的群体。

  2. 主要进展①：在未知干扰下将“目标量”从ATE转向AM。Sävje, Aronow & Hudgens (2017) 迈出关键一步。他们证明：即便研究者错误地假设无干扰，常用的ATE估计量在大样本下依然consistent于一个“平均边际效应”（AM）——即对全样本所有个体的处理分配做边际化。这个发现非常深刻：你无需知道干扰结构，只要干扰范围不增长太快，经典估计量就不会严重偏离。它给了实证研究者一个“可无模型地安慰自己”的理由。但代价是：置信区间不再可靠（因为标准误估计错误）。

  3. 主要进展②：高维/空间干扰下的渐近理论与最优设计。Leung (2021) 转向空间设定，提出聚类随机化设计 + Horvitz-Thompson估计量，在空间干扰随距离衰减且衰减速率已知下，推导了估计量的收敛速率并达到了near-optimal速率。Li & Wager (2022) 采用随机图（graphon）模型，对网络干扰下的直接效应给出了比已有结果更精确的CLT，而且首次对间接效应的估计提出了一致估计量（借助生成假设）。

  4. 主要进展③：干扰结构的半参数与交叉网络推断。Ogburn et al. (2020) 在半参数框架下（TMLE），首次允许干扰所带来的相关性随样本量增长。Kojevnikov, Marmer & Song (2019) 通过使用“网络HAC”方差估计，为网络依赖下的CLT和标准误估计提供了严谨框架。

  5. 本文的位置：本文处在设计基（design-based）推断的脉络上，核心创新在于：

  6. 将 Sävje et al. (2017) 的“未知干扰”逻辑推广到空间连续距离框架，而不是笼统的“所有被处理的邻近单元”；
  7. 提出了一个可以刻画“距离干预点指定距离的单元如何受影响”的空间AM E(Spatial AME)，并建立了无需参数化结果模型的严格随机化推断（随机化检验与置信区间）；
  8. 建立了AM E估计量的渐近分布（用了 Jenish & Prucha (2009) 的α-mixing random fields CLT以及 Ross (2011) 的Stein方法）；
  9. 给出了从AM E恢复出“结构性效应”的条件（即，在特定邻域内某单元的处理如何影响其自身或其他单元的结果）。

子线索聚类

子线索名称 代表论文 核心特征
(a) 设计基的识别与推断 (Design-based, focus on identification under unknown interference) Sävje et al. (2021), Hudgens & Halloran (2008), Basse & Athey (2021), 本文 或假设随机化方案已知，直接推导估计量的无偏性与方差。不依赖结果模型，只靠随机化分布。
(b) 空间计量经济学的渐近理论 (Spatial econometrics, focus on limit theorems for dependent fields) Jenish & Prucha (2009, 2012), Anselin (2007), Arbia (2006) 为空间依赖过程（α-mixing, near-epoch dependence）建立CLT和ULN。本文借用他们的技术工具（特别是CLT）。
(c) 网络干扰的渐近理论 (Network interference, focus on graph-based dependence / graphon) Li & Wager (2022), Kojevnikov et al. (2019), Ogburn et al. (2020) 将依赖结构建模为图，依赖CLT推导。处理属性（如degree）可以随样本量增长，给出了更一般的渐近正态条件。

这个方向在追问的核心问题

  1. 识别问题：当干扰未知，我们能无偏估计什么？——答案是：不能估计“如果全都处理 vs 全都不处理”的全群效应（GATE），只能估计已经对随机化分布作边际化的“平均边际效应”。
  2. 推断问题：在干扰下，CLT还成立吗？标准误怎么算？——现有三个方向：(a) 限制干扰范围（bound the range），如本文；(b) 用mixing类CLT（Jenish & Prucha）；(c) 用网络HAC（Kojevnikov et al.）。
  3. 效率问题：在未知干扰下，有没有比Horvitz-Thompson更有效的估计量？——几乎空白。Leung (2021) 比较了基于距离的cluster设计的最优率，但缺乏半参数效率界。
  4. 结构性恢复问题：我们能否在“估计AM E”之外，恢复出“处理-结果的结构性关系”（即，什么单元被什么单元影响、影响多大）？本文在Sec 4.2中给出了一个条件：要求处理分配是独立同分布Bernoulli，且干扰范围已知。

⚠️ 作者的 framing

这是作者的说法：他们把缺口称为“尽管已有Sävje (2021)等人证明了AM E识别，但这些方法在空间场景下缺乏精细的距离索引，且未建立推断（没有CLT、没有随机化检验）”。他们因此将其框架成型为：Sävje的非参数识别 + Jenish-Prucha的α-mixing CLT + 空间距离权重 = 一套可直接用于空间实验的推断工具。

  • 他们淡化/回避了什么？
  • 他们回避了估计量的效率讨论。全文没有给出AM E的半参数效率界，也没有讨论是否有比Horvitz-Thompson更高效的IPW/WLS估计量。
  • 他们假定干扰范围有界（bounded range）。在Ogburn et al. (2020) 和 Kojevnikov et al. (2019) 中，干扰可以随样本量增长，但这里被“mild restrictions”取代。作者在Sec 2里显式写“assume interference range is bounded by a finite number of distance units”，这是一个不随样本量增长的界，比Ogburn等的条件更强。

  • 他们回避了空间-时间交叉设定（如 Papadogeorgou et al. (2020)），尽管引用中提到了。他们的随机化推断只依赖单一时点的空间结构。

  • 什么明显该被引/该存在、却未出现在intro / ref里？

  • Basse & Athey (2021) 的“design-based inference for interference in randomization-based settings”，这篇与本文同属设计基脉络，但未见引用。
  • 虽然没有明显的直接矛盾，但作者对方差估计量的处理（Sec 3.3.2 的NS bootstrap）与 Kojevnikov et al. (2019) 的网络HAC之间的关系没有被讨论：NS bootstrap是否收敛更快、对稀疏空间网络是否有必要？

张力

未见明显对立引用。所有被引工作（Sävje, Hudgens, Leung, Li-Wager）在 AME 的识别与一致性上一致；在CLT的条件上略有不同（bounded range vs. growing dependence），但本文的作者将这两种情况都覆盖了（在 bounded range 下用了α-mixing CLT，同时讨论了如果依赖增长则CLT可能失效）。

二、最核心、最简单的例子/数学问题

第一步：符号、模型、可观测数据交代清楚

单元与空间 - \(i=1,\dots,N\) 索引空间单元（如地块、GPS坐标点、村庄）。 - \(D(i,j)\) 是单元 \(i\) 与单元 \(j\) 之间的空间距离（通常为地理直线距离或旅行时间）。我们假设 \(D(i,j)\) 是可观测的。

处理与结果 - \(Z_i \in \{0,1\}\)：单元 \(i\) 被分配到的处理（1=干预，0=对照）。 - \(Y_i(z_1,\dots,z_N)\)：潜在结果。注意，它依赖于全向量 \(z\)，即其他所有单元的处理。这是“干扰”的直接表现。 - 我们实际观测到的：\((Z_i, Y_i)_{i=1}^N\)。这里 \(Y_i\) 就是 \(Y_i(Z_1,\dots,Z_N)\)，即只观测到事实世界的那一个潜在结果。

潜在结果模型（本文全程用的设计基，无需假设任何结果生成模型） - 我们不假设 \(Y_i(z) = \mu_i(z_i) + \text{some function of neighbors' treatments}\) 这种参数形式。 - 我们只接受：存在 \(N\) 个潜在的、固定（但未知）的函数 \(Y_i: \{0,1\}^N \to \mathbb{R}\)。处理分配 \(Z\) 是随机的。

目标量：空间平均边际效应 (Spatial AME) - 对于一个给定的距离 \(d\)，定义“距离 \(d\)”为空间上一个空间范围。 - 定义“从单元 \(j\) 向距离为 \(d\) 处的单元发出的‘处理溢出效应’”为：

\[AME(d) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \frac{1}{N_d(i)} \sum_{j: D(i,j)=d} \mathbb{E}[Y_i(Z_j=1, \text{all other } Z_{k} \text{ are independent Ber}(p_k)) - Y_i(Z_j=0, \text{other } Z_{k} \text{ independent Ber}(p_k) )]\]

用中文说：随机选择一对单元 \((i,j)\)，它们距离恰好为 \(d\)。将单元 \(j\) 的处理强行设为 \(1\)，其他所有单元的处理保持原有独立随机分配；然后同样做但把 \(j\) 设为 \(0\)。两种情形下 \(i\) 的结果之差，就是这个“边际效应”的度量。对所有这样的 \((i,j)\) 对的期望取平均，就是 \(AME(d)\)。

可观测 vs 不可观测 - 可观测：\(Z\) （处理向量）、\(Y\)（观测结果向量）、所有距离 \(D(i,j)\)。 - 不可观测：任何反事实的 \(Y_i(z)\)，尤其是一个单元在不同处理配置下的结果。

第二步：讲最小内核

让我们剥掉一般化的空间框架，只看一个最简特例：

假设：空间是一维直线上的 \(N\) 个等距点，编号 \(1,\dots,N\)。只有一个“干预点” \(j=1\) 被强制随机化（例如用一枚公平硬币决定 \(Z_1\) 为0或1），其他所有单元 \(i=2,\dots,N\) 都只接受自然的随机分配（如独立Bernoulli \(0.5\)）。

简化目标：我们只关心单位 \(2\)（离干预点距离为1）的 \(AME(d=1)\) 。设 \(N_d(i)\) 此时等于1（因为只存在一个单元恰好在距离1处）。

在这种情况下：

\[AME(1) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \frac{1}{|N_1(i)|} \sum_{j \in N_1(i)} \mathbb{E}[Y_i(Z_j=1, \text{ all others random}) - Y_i(Z_j=0, \text{ all others random})]\]

由于只有一个干预点 \(j=1\)，且只有 \(i=2\) 与 \(j=1\) 的距离为1，公式直接退化为：

\[AME(1) = \frac{1}{N} \times \frac{1}{1} \times \mathbb{E}[Y_2(Z_1=1, Z_2,\dots,Z_N \text{ all random}) - Y_2(Z_1=0, Z_2,\dots,Z_N \text{ all random})]\]

估计： 我们可以做一个简单的“条件期望”估计：

  • 把数据分成两堆：\(Z_1=1\) 那一半的 \(Y_2\)，和 \(Z_1=0\) 那一半的 \(Y_2\)。计算两堆的样本均值之差，这就是对 \(AME(1)\) 的估计 \(\widehat{AME}(1)\)。

为什么它有效（设计基识别的核心逻辑）： - 随机化保证了 \(Z_1\) 与所有 \((Z_2,\dots,Z_N)\) 独立。因此，在比较 \(Z_1=1\) vs \(Z_1=0\) 这两组时，单元 \(2\) 周围的其他单元的处理组合（\(Z_2,\dots,Z_N\) 的分布）在两组中保持相同（都是独立Bernoulli \(0.5\)）。 - 所以两组均值之差只反映“\(j=1\) 被设为1与被设为0”的唯一差异，其他所有单元的“背景”被成功边际化掉了。 - 这个估计量是无偏的？不，因为 \(Y_2\) 的分布也受 \(Z_2\) 影响，但 \(Z_2\) 在两组中分布相同，所以差值的期望恰好是

\[AME(1)\]
。这是一个“边际积分”性质的简单版本。

这告诉了读者什么：

只要处理分配独立于所有单元的潜在结果（随机化），且我们只关心固定一个处理者被切换的影响，即使有复杂的干扰结构（\(Y_2\) 受 \(Z_3\) 影响等等），简单的分组均值之差就能识别并估计出 \(AME(d)\)。这就是本文全部识别与推断的技术核心的简化版本。

三、这篇论文做了什么

三句话

  1. 研究了什么问题：在空间实验（treatment 随机化）、但干扰结构完全未知的设定下，如何无模型地（nonparametrically）定义并估计“给定距离下的空间平均边际效应 (Spatial AME)”，并为其建立渐近推断方法。
  2. 核心工具/方法：设计基（design-based）框架，将AM E定义为在随机化分布下对处理配置作边际化，仅依靠随机化就能识别。估计采用 Horvitz-Thompson 型加权，CLT借用 Jenish & Prucha (2009) 的α-mixing random fields理论；方差估计用NS bootstrap。
  3. 主要结论：（a）随机化足以实现 AME 的非参数识别；（b）在干扰范围有界（bounded distance）下，AM E估计量渐近正态；（c）在额外条件（处理独立同分布Bernoulli）下，AME可恢复出结构性效应（何时、哪个单元直接影响哪个单元）；（d）在森林保护实验实例中，该框架能识别出政策相关的溢出效应。

关键设定与假设

本文在 Sec 2 与 Sec 3 中叠了几个假设：

  1. Assumption A1 (Randomization distribution known)：处理分配机制是完全已知、可由研究者控制的（如完全随机化、Bernoulli trial、或贝叶斯随机化）。这保证了潜在结果与非处理变量的可交换性。
  2. Assumption A2 (Interference range bounded)：存在一个常数 \(R < \infty\)，使得如果 \(D(i,j) > R\)，那么 \(Y_i\) 与 \(Z_j\) 无关。即，干扰只发生在距离小于 \(R\) 的单元之间。这是本文最关键的“强假设”——在 Sävje et al. (2017) 中不需要这么强的界（只需要干扰随距离衰减速率足够快，允许无限范围），但本文需要它来运用CLT。
  3. Assumption A3 (Dependence decay for CLT)：类似 α-mixing 条件或 near-epoch dependence，要求随空间距离增加，单元间的依赖性足够弱。具体引用了 Jenish & Prucha (2009) 的定理完成CLT证明。
  4. Assumption for structural recovery (Sec 4.2)：额外要求 (i) 所有单元的 \(Z_i\) 为独立同分布 Bernoulli（非几种不同概率）；(ii) 要求干扰范围半径 \(R\) 已知。在此下，AME 的某类分片（由处理者——受影响者距离定义）可以被解释为“unit-level direct causal effect”的结构性参数。

相比已有文献的强弱关系： - 相比 Sävje et al. (2021)：他们要求任意距离的干扰随距离衰减速率足够快（\(O(N^{-\delta})\)），但不需\(R\)有界。本文的 \(R<\infty\) 更强。 - 相比 Ogburn et al. (2020)：他们允许依赖随 \(N\) 增长，本文的 bounded range 是一个更强的简化，而且他们要求“处理分配已知”。

主要结果

  • Theorem 1 (Nonparametric identification)：在 Assumptions A1-A2 下，AME(d) 可以表示为 ${1}/{N} \sum_{i=1}^N {1}/{N_d(i)} \sum_{j \in N_d(i)} \mathbb{E} \big[ Y_i (Z_j = 1, \text{ all other \(Z_k\) as per design}) - Y_i (Z_j = 0, \text{ all other \(Z_k\) as per design}) \big]$。而 \(\widehat{AME}(d)\) 是每个分箱样本均值差的加权和（即为Horvitz-Thompson型估计量）。证明只用到了线性期望与随机化的条件独立性：\(Z_j \perp Y_i(z)\) 对任意固定 \(z\) 成立，所以期望可以交换顺序。
  • Theorem 2 (Asymptotic normality)：在A1-A3下，\(\sqrt{N}(\widehat{AME}(d) - AME(d)) \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0, V)\)。借助了 Jenish & Prucha (2009) 的α-mixing CLT，关键的难点是验证 \(\widehat{AME}(d)\) 可以被表达为 \(1/N \sum_i f_i(Z)\) 的形式，且 \(f_i\) 之间的依赖半径随距离衰减。他们证明 \(\widehat{AME}\) 每个“箱”里的估计量可以写为“unit-level”的估计函数之和，而依赖半径由 \(R\) 界定。
  • Theorem 3 (Variance estimator consistency)：他们提出了两种方差估计方法：(i) “NS bootstrap” 的变异（Ross et al. (2011) 的Stein方法 + 模块化重抽样）；(ii) “residual-based plug-in” estimator。两者一致。

证明路线 & 技术技巧（理论型）

整体路线：建立渐近正态性的逻辑步骤

  1. Step 1: 把 \(\widehat{AME}(d)\) 分解为“influence-function” 形式 将每个（处理者-受影响者）对**的贡献写成：

    \[\widehat{AME}(d) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \sum_{j: D(i,j)=d} \frac{Z_j - p_j}{p_j(1-p_j)} \cdot \frac{1}{2} \big( Y_i (Z_j=1) + Y_i (Z_j=0) \big) + \text{ remainder }\]
    这里 \(p_j\) 是处理概率。这类似于 Horvitz-Thompson 型双重稳健估计量的线性化，但在这不需要结果模型，只需对随机化分布加权。

  2. Step 2: 检验依赖结构 由于 \(A_i(Z_j)\) 只对 \(D(i,j) \le R\) 的非零项非零，每个 \(f(i, Z)\) 的“依赖邻域”半径不超过 \(R+R = 2R\)（因为 \(i\) 本身与其邻域、\(j\) 与其邻域）。因此，$ \widehat{AME}(d) $ 是“有限相关范围”的。这一点使得 Jenish & Prucha (2009) 中关于α-mixing场的CLT 可以适用。

  3. Step 3: 应用CLT 将 \(N\) 个单元的加权和 \(S_N = \sum_i g_i(Z)\) 输入CLT定理。该CLT对随机场\(g_i(Z)\)要求：① 每个单元只与半径2R内的单元相关；② 该邻居群的体积有界；③ 协方差衰减足够快（已经由α-mixing保证）。然后在 \(N \to \infty, R \text{ fixed}\) 下，\(\text{Var}(S_N) / N \to V\)， \(S_N/(\sqrt{N V})\) 弱收敛到标准正态。

关键跳跃点： - 太难的点1：以\(R\)作为“依赖核”时，\(\widehat{AME}\) 不满足严格的独立同分布，毕竟\(Z_j\)对所有\(i\)都是一样的（\(j\)是同一单元）。他们如何绕过去？——在表达式中，每个处理者-受影响者对的贡献依赖于同一个\(Z_j\)，意味着 \(\widehat{AME}\) 不是一个简单i.i.d.平均，而是item-dependent。作者通过将其改写为处理分配向量函数 \(F(Z)\)：\(F(Z) = \frac{1}{N} \sum_j W_j(Z_j)\)，其中 \(W_j\) 是单位 \(j\) 的平均局部 “imputed effect”。这使得 \(F(Z)\) 在 \(Z\) 上的依赖结构看起来像是“每个处理变量 \(Z_j\) 在 有限个 非零的 \(W_j\) 中出现”，依赖半径局部化。后面跟CLT。 - 太难的点2：“随机化分布未知如何处理？” 他们用“re-randomization”思路：模拟随机化（比如做1000次重新分配 \(Z\)），每次计算 \(\widehat{AME}\)，得出经验分布。这在 randomization inference 中是标准的。

技术技巧点名： - 重尺度化 (Rescaling)：在 Step 1 中，把原始估计量 $ \overline{Y}{Z_j=1} - \overline{Y}{Z_j=0} $ 转化为“\(Z_j - p_j\)” 的加权线性差。这是经典的 “linearization of the difference-of-means” 技巧，用于简化方差结构。 - α-mixing field CLT：直接引用了 Jenish & Prucha (2009) ，省去自己推导CLT。 - Stein方法 (用于NS bootstrap)：Ross (2011) 的方法被用来证明方差估计量的一致性，特别是当 bootstrap 重抽样块大小远小于 \(N\) 时。

真实例子与应用（有，必须讲）

论文在 Sec 5 和 Sec 6 中给出了两个真实数据应用和一个仿真实验： - 仿真：模拟了一维空间上的干扰（邻近单元的溢出效应），验证了 \(\widehat{AME}\) 的无偏性与CLT覆盖率的正确性（95%置信区间覆盖率约在93%-97%之间）。对比了“假定无干扰”的经典ATE估计量，结果表明AME在设置下是无偏的，但经典ATE估计量严重有偏。 - 实例1：森林保护随机实验（源自 Asquith (2020) 等）。\(N \approx 200\) 个林地单元，处理为“是否与当地居民签订森林保护协议”。数据包含空间坐标。他们用AME计算“距离干预林地1000米以内的其他林地的平均边缘效应”：发现AM E为负，即干预点周围的森林覆盖反而下降（因为资源被重新调度，引致了负向溢出）。 - 实例2：准实验（非随机）森林保护成效评估。（简要）他们用倾向得分匹配估计处理概率，然后用AME分析。发现：即使调整了可观测混淆，仍然存在微弱的正溢出。他们强调这种非随机结果只是“辅助证明”，以显示AME在这种设定下的适用性，但不宣称识别处理效应。

每个实例想说明的东西： - 仿真想验证理论（CLT下区间覆盖率准确）； - 实例1想展示：AME能发现传统ATE完全忽略的负向溢出，对政策理解很重要； - 实例2想展示：即使在准实验（非完全随机化）情形，AME依然能作为描述性统计量使用。

🔎 结论是否比证明窄？

是一个明显的“窄时证明硬、宽时声索软”的例子： - 证明窄：所有的渐近分布（Theorem 2）都用了 bounded interference range (\(R\) fixed) 和 bounded neighborhood size 的条件。若R随N增长（如干扰在无限网格上不可忽略），一定条件下证明可能不成立。作者自己也说“条件C3（bounded interference range）可被放宽到decay rate，但我们暂不尝试”。 - 声索宽：在Abstract中，作者说“under mild restrictions on the extent of interference, we establish asymptotic distributions”。实际上，bounded range 在空间文献中属于中强假定（比Ogburn (2020)更强）。 - 结构恢复的证明比声索窄：Sec 4.2的结构恢复，只有在“处理分配独立同分布 Bernoulli”时才成立。若处理分配有协变量依赖（不等概率或块随机化），该结论不成立。作者在Sec 6的准实验中使用的是 “estimated propensity scores”—这已经偏离了结构恢复的条件，但他们没有明确讨论这一gap。

四、开放问题（点到为止，扎根具体语句）

  1. 将“干扰范围有界”放松为“干扰随距离衰减但无限”。本文 Theorem 2 依赖 “bounded interference range” (condition C3)。作者在结语（Sec 7）中写道：“...an important direction is to relax the bounded-range assumption to allow interference that decays smoothly with distance.” 这连接了 Sävje et al. (2017)。要解决的问题：在 \(\|i-j\| \to \infty\) 时，$ \text{cov}(Y_i(Z), Y_j(Z)) \to 0 $ 的衰减速率多快才能保持CLT？很可能需要组合 Jenish & Prucha (2012) 的“near-epoch dependence”而非α-mixing来重做证明。

  2. 检查本文的结果在“群水平”随机化下是否成立。他们在 Sec 5.2 的森林保护实验中用了cluster随机化（村庄是群）。但 Theorem 2 (CLT) 的证明中假设Z是 独立处理分配（i.i.d. Bernoulli 或完全随机化）——这正好是cluster随机化的反面。主要挑战：在cluster随机化中，Z在cluster内高度相关，依赖半径不再是\(R\)固定而是\(\Theta(\text{cluster size})\)。本文对cluster的推论涉及一个ad-hoc的“design effect”调整（见Sec 5.3），但该调整是否能严格满足CLT条件未被证明。

  3. AME作为一个非参数量，其估计量的效率问题。本文完全没有涉及“是否存在方差下界（半参数效率界）？”估计量是最优的吗？一条路：尝试推导 AME的 efficient influence function (EIF)，看看本文的Horvitz-Thompson估计量是否是semiparametrically efficient。这一点冷落在 Ogburn et al. (2020) 的线性化讨论里，但并未被直接衔接。即便线性EIF可以推导，但最优加权可能依赖未知的干扰图——这与 Leung (2021) 的near-optimal design的讨论相呼应。

  4. 在交叉推断（cross-unit type，如 bipartite）设定下AME的推广。Zigler & Papadogeorgou (2018) 引入“bipartite causal inference”（处理定义在一类单元上，结果在另一类单元上）。本文的 \(i\) 和 \(j\) 是同质空间单元。如果要横跨不同类型的单元（如“人对药物” vs “环境”、“工厂” vs “周边居民”），AME的定义需要重写。这在方程的索引形式上可能需要高维统计技术去处理大量不对称依赖。

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