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Kernel density estimation in metric spaces

作者: Chenfei Gu, Mian Huang, Xinyu Song, Xueqin Wang
来源: Scandinavian Journal of Statistics
主题: 非参数 / 半参数
相关性: 7/10
链接: https://doi.org/10.1111/sjos.12779

一、领域脉络与小综述

这个方向是什么： 这个子方向要解决的根本统计问题是：当数据的支撑集不再是欧几里得空间 \(\mathbb{R}^d\)（不具备全局向量结构或加法运算），而仅是一个配备距离函数的一般度量空间（如形状空间、树状图空间、网络节点空间）时，如何定义、估计并推断数据的“密度”。当前该方向的成熟度处于“工具箱搭建期”：欧氏空间下的核密度估计（KDE）已有完备的 minimax 理论、带宽选择准则与渐近推断体系；但在一般度量空间中，由于缺乏平移与缩放运算，经典核函数无法直接平移，密度定义本身即成为首要障碍，大样本理论与带宽选择均处于零散构建阶段。

发展脉络（history）： - 奠基工作：欧氏空间 KDE 的奠基由 Rosenblatt (1956) 与 Parzen (1962) 完成，确立了核密度估计的 MISE 渐近展开与最优带宽率 \(O(n^{-1/5})\)。这为一切后续推广设定了基准（rate 与 bandwidth selection 的范式）。 - 主要进展（向非欧拓展）：早期向非欧空间的拓展集中在具备局部线性结构的流形（Riemannian manifold）。Pelletier (2006) 与 Henry et al. (2019) 等工作在流形上利用局部切空间映射实现了 KDE，保留了平移核的逻辑。然而，这些方法依赖流形的微分几何结构（切空间、指数/对数映射），无法下放至仅知距离的粗糙度量空间。 - 当前 frontier（度量空间密度刻画）：面对仅具距离结构的空间，近年的核心进展是绕开“平移核”，转而通过距离的分布来刻画局部概率质量。本文作者的前序工作 Wang et al. (2021) 提出了“度量分布函数”（Metric Distribution Function, MDF）\(F_x(r) = P(d(x, X) \le r)\)，为度量空间提供了一个不依赖坐标系的局部概率测度描述，这构成了当前 frontier 的概念基石。 - 本文的位置：本文在 MDF 的概念上，将欧氏空间中 \(K((x-X)/h)\) 的局部加权逻辑，替换为基于距离的 \(K(d(x, X)/h)\) 加权逻辑，从而在一般度量空间中构造出局部与全局两种 MKDE，并补齐了 MISE 展开与带宽选择这一从 Parzen (1962) 传承下来的推断链条。

子线索聚类： 被引文献及相关工作大致落在三条子线索上： 1. 流形上的 KDE：依赖微分几何工具（切空间、指数映射），在光滑流形上定义核函数。代表如 Pelletier (2006)、Henry et al. (2019)。这一簇在做什么：利用局部欧氏化将 \(\mathbb{R}^d\) 的核平移过去。留下的口子：要求空间必须可微，对离散或仅具距离的空间失效。 2. 度量空间的概率刻画与 Fréchet 均值：放弃微分结构，仅用距离函数定义中心趋势（Fréchet 刋值）与局部分布（MDF）。代表如 Dubey & Müller (2019)（Fréchet 均值推断）、Wang et al. (2021)（MDF 定义与估计）。这一簇在做什么：为度量空间建立仅依赖距离的描述统计量与推断框架。 3. 欧氏空间 KDE 的带宽与渐近理论：作为度量空间推广的对照基准与理论源头。代表如 Parzen (1962)、Scott (1992)、Wand & Jones (1995)。这一簇在做什么：提供 MISE、最优带宽率、渐近正态性的完备范式，是本文试图在度量空间中复刻的目标。

这个方向在追问的核心问题： 1. 密度定义问题：在缺乏加法与缩放的度量空间中，概率密度的数学对象应如何定义，使其在空间退化为 \(\mathbb{R}^d\) 时与 Lebesgue 密度一致？ 2. 估计与收敛率问题：基于距离的核估计量，其 MISE 的渐近阶是多少？是否仍能达到 \(O(n^{-4/5})\)（对应逐点 \(O(n^{-2/5})\)），抑或度量空间的几何曲率会引入额外代价？ 3. 带宽选择问题：MISE 渐近展开中的常数项如何依赖于度量空间的局部几何（如测度体积元的曲率项），从而使得基于数据的带宽选择在非欧设定下具有可操作性？

⚠️ 作者的 framing： - 作者把缺口 frame 成什么：作者将缺口 frame 为“流形方法依赖微分结构，而实际数据（如形状、网络）往往仅是度量空间，缺乏微分结构，因此需要一种仅依赖距离的密度估计与推断框架”。这使得基于 MDF 的 MKDE 成为“显然的下一步”。 - 哪些竞争路线被他淡化或回避了：作者回避了另一条不依赖微分结构的竞争路线——基于图或邻域的密度估计（如 von Luxburg & Alamikkala 2020 的 kNN 密度估计，或 Chen et al. 2019 的基于图的密度泛函）。这类方法同样仅依赖距离（甚至只依赖邻域排序），且在拓扑数据分析（TDA）与网络分析中已有应用，但 intro 中未提及。此外，针对形状数据的弹性形状分析路线（如 Srivastava et al. 2011 的平方速度场框架，在形状空间上赋予 Riemannian 结构再做 KDE）也被淡化，作者直接将形状数据当作纯度量空间处理。 - 什么明显该被引 / 该存在、却没出现在 intro 里：基于 kNN 或图结构的非参数密度估计文献；度量空间上测度集中现象与局部体积渐近的几何测度论文献（这些决定了 MDF 展开中体积元的曲率修正项从何而来）。

张力： 未见明显对立引用。流形路线与度量路线在各自适用的空间类型上并行，尚未有文献在同一问题上得出相反结论。但存在隐含张力：流形路线认为必须利用局部切空间才能获得最优收敛率，而度量路线（本文）声称仅用距离即可达到与欧氏空间相同的逐点收敛率 \(O(n^{-2/5})\)——这一声称的成立条件（对测度与距离的平滑性要求）值得在技术节仔细核验。

二、最核心、最简单的例子 / 数学问题

第一步：把符号、模型、可观测数据交代清楚

  • 符号：
  • \((\mathcal{M}, d)\)：度量空间，\(\mathcal{M}\) 为样本支撑集，\(d: \mathcal{M} \times \mathcal{M} \to \mathbb{R}_{\ge 0}\) 为距离函数。
  • \(X\)：取值于 \(\mathcal{M}\) 的随机变量，服从分布 \(P\)。
  • \(X_1, \ldots, X_n\)：来自 \(P\) 的 i.i.d. 样本。
  • \(f(x)\)：要估的对象——在点 \(x \in \mathcal{M}\) 处的概率密度（本文通过度量分布函数的导数定义，见下）。
  • \(F_x(r)\)：度量分布函数，定义为 \(F_x(r) = P(d(x, X) \le r)\)，即随机变量 \(X\) 落入以 \(x\) 为心、半径 \(r\) 的闭球内的概率。它是 \(r\) 的实值函数。
  • \(f_x(r)\)：度量密度函数，定义为 \(f_x(r) = \frac{d}{dr} F_x(r)\)（假设 \(F_x\) 对 \(r\) 可微）。
  • \(K(\cdot)\)：欧氏空间上的有界、对称、非负核函数（如高斯核或 Epanechnikov 核），满足 \(\int K(u) du = 1\)。
  • \(h\)：带宽参数，\(h > 0\)，控制局部邻域的尺度。
  • \(\hat{f}_L(x; h)\)：局部 MKDE（Local Metric Kernel Density Estimator）。
  • \(\hat{f}_G(x; h)\)：全局 MKDE（Global Metric Kernel Density Estimator）。

  • \(V_x(r)\)：以 \(x\) 为心、半径 \(r\) 的闭球在分布 \(P\) 下的“参考体积”（在 \(\mathbb{R}^d\) 中退化为 Lebesgue 体积 \(c_d r^d\)）。

  • 模型（数据生成机制）： 数据 \(X_1, \ldots, X_n\) i.i.d. 抽自度量空间 \((\mathcal{M}, d)\) 上的概率测度 \(P\)。\(P\) 在 \(\mathcal{M}\) 上具有密度 \(f(x)\)（相对于某个由距离诱导的参考测度，如 Hausdorff 测度）。核心结构是：\(P\) 在局部球内的质量 \(F_x(r)\) 对半径 \(r\) 具有二阶可微性，且局部体积 \(V_x(r)\) 也具有二阶可微性。

  • 可观测数据： 研究者实际能观测到的是 \(n\) 个对象 \(X_1, \ldots, X_n \in \mathcal{M}\)，以及它们之间的两两距离 \(d(X_i, X_j)\)（或任意点 \(x\) 到样本的距离 \(d(x, X_i)\)）。不可观测的是：真实的概率测度 \(P\)、度量分布函数 \(F_x(r)\)、度量密度 \(f_x(r)\)、以及局部体积 \(V_x(r)\) 的精确解析形式——这些只能靠样本距离的分布去估计。

第二步：讲最小内核

整篇论文的证明与方法本质上是欧氏空间 KDE 的平移核 \(K((x-X)/h)\) 被替换为距离核 \(K(d(x, X)/h)\) 这一特例推广，而其最小内核在于：在 \(\mathbb{R}^1\) 上的距离核 KDE，如何通过度量分布函数的 Taylor 展开推导 MISE 与最优带宽。

最简特例：\(\mathcal{M} = \mathbb{R}^1\)，欧氏距离 \(d(x, y) = |x - y|\)。

在这个特例下，度量分布函数退化为经典的累积分布函数在局部球上的表达： \(F_x(r) = P(|x - X| \le r) = P(X \in [x-r, x+r]) = \int_{x-r}^{x+r} f(u) du\)。

度量密度 \(f_x(r) = \frac{d}{dr} F_x(r) = f(x+r) + f(x-r)\)。

局部 MKDE 的定义是： \(\hat{f}_L(x; h) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{V_x(h)} K\left(\frac{d(x, X_i)}{h}\right)\)。

在 \(\mathbb{R}^1\) 中，参考体积 \(V_x(h)\) 退化为 Lebesgue 测度下的球体积（即区间长度）\(2h\)。因此： \(\hat{f}_L(x; h) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{2h} K\left(\frac{|x - X_i|}{h}\right)\)。

核心数学问题与证明怎么走： 要证的命题是：\(\hat{f}_L(x; h)\) 的逐点偏差与方差，从而得到 MISE 渐近展开。

偏差计算： \(E[\hat{f}_L(x; h)] = \frac{1}{V_x(h)} E\left[K\left(\frac{d(x, X)}{h}\right)\right] = \frac{1}{2h} \int_{x-h}^{x+h} K\left(\frac{|x-u|}{h}\right) f(u) du\)。 利用变量替换 \(u = x + vh\)（\(v \in [-1, 1]\)），展开 \(f(x+vh)\) 与 \(f(x-vh)\) 到二阶： \(f(x+vh) + f(x-vh) = 2f(x) + v^2 h^2 f''(x) + o(h^2)\)。 代入积分，利用核的对称性 \(\int K(v) v dv = 0\)，得到偏差： \(\text{Bias}(\hat{f}_L(x; h)) \approx \frac{h^2}{2} f''(x) \int v^2 K(v) dv\)。

方差计算： \(\text{Var}(\hat{f}_L(x; h)) \approx \frac{f(x)}{2h n} \int K^2(v) dv\)。

MISE 展开： \(\text{MISE} \approx \frac{h^4}{4} \left(\int v^2 K(v) dv\right)^2 \int f''(x)^2 dx + \frac{1}{2nh} \int K^2(v) dv\)。

求导令其为零，得最优带宽 \(h^* \sim O(n^{-1/5})\)，MISE 最优率 \(\sim O(n^{-4/5})\)。

为什么在一般度量空间中成立： 在一般度量空间中，\(f(x+vh)\) 的 Taylor 展开不再可用（没有加法 \(x+vh\)）。本文的关键跳跃是：将 \(f(u)\) 在局部球上的积分，转化为度量分布函数 \(F_x(r)\) 对 \(r\) 的 Taylor 展开。因为 \(F_x(r) = P(d(x, X) \le r)\) 是实值函数 \(r\) 的函数，只要 \(P\) 与测度在局部足够平滑（\(F_x(r)\) 在 \(r=0\) 处二阶可微），就可以在 \(r\) 的域上做 Taylor 展开，从而绕开对 \(\mathcal{M}\) 上加法结构的依赖。这就是整篇论文在数学上干的一件事：用距离参数 \(r\) 的 Taylor 展开替代坐标参数的 Taylor 展开，将欧氏 KDE 的 MISE 推导逻辑完整平移到度量空间。

三、这篇论文做了什么

三句话： ① 研究了在仅配备距离函数的一般度量空间中，如何定义并估计概率密度的问题； ② 核心工具是基于度量分布函数 \(F_x(r)\) 的 Taylor 展开，构造局部与全局距离核估计量（MKDE），并推导其 MISE 渐近展开； ③ 主要结论是：在度量分布函数与参考体积的二阶平滑条件下，MKDE 的逐点收敛率与 MISE 最优率均与欧氏空间 KDE 相同（分别为 \(O(n^{-2/5})\) 与 \(O(n^{-4/5})\)），且基于 MISE 的带宽选择准则具有显式可操作的渐近形式。

关键设定与假设： 在第二节最小记号的基础上，补全完整设定：

  • 定义（局部 MKDE）：\(\hat{f}_L(x; h) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{V_x(h)} K\left(\frac{d(x, X_i)}{h}\right)\)。 统计含义：以 \(x\) 为心，用距离核 \(K(d/h)\) 对落入半径 \(h\) 邻域内的样本进行加权平均，权重除以参考体积 \(V_x(h)\) 以归一化。这是欧氏 KDE \(\frac{1}{nh^d} \sum K((x-X_i)/h)\) 的直接度量类比。

  • 定义（全局 MKDE）：\(\hat{f}_G(x; h) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{V_{X_i}(h)} K\left(\frac{d(x, X_i)}{h}\right)\)。 统计含义：归一化体积 \(V_{X_i}(h)\) 依赖于随机样本 \(X_i\) 的位置，而非目标点 \(x\)。这相当于在每一个样本点 \(X_i\) 处建立一个局部核，再叠加到 \(x\) 处。在 \(\mathbb{R}^d\) 中，\(V_{X_i}(h)\) 退化为常数 \(c_d h^d\)，局部与全局版本等价；但在一般度量空间中，体积 \(V_x(h)\) 随 \(x\) 变化，两者不同。

  • 假设（平滑性条件）：

  • A1（核函数）：\(K\) 是有界、对称、非负的核，支撑在 \([-1, 1]\)（或有界），满足 \(\int K(u) du = 1\), \(\int u K(u) du = 0\), \(\int u^2 K(u) du = \kappa_2 > 0\)。
  • A2（度量分布函数平滑）：\(F_x(r)\) 在 \(r=0\) 处二阶可微，即 \(F_x(r) = f_x(0) r + \frac{1}{2} f_x'(0) r^2 + o(r^2)\)。统计含义：局部概率质量随半径的增长满足二阶展开，这是偏差展开的地基。
  • A3（参考体积平滑）：\(V_x(r)\) 在 \(r=0\) 处二阶可微，\(V_x(r) = v_x(0) r + \frac{1}{2} v_x'(0) r^2 + o(r^2)\)。统计含义：度量空间的局部几何（测度的体积元）随半径平滑变化，决定了归一化因子的展开。
  • A4（边界条件）：密度 \(f(x)\) 与度量密度 \(f_x(r)\) 在 \(x\) 处连续，且 \(f(x) = \frac{f_x(0)}{v_x(0)}\)。统计含义：将度量分布的导数与参考体积的导数之比，定义为度量空间上的密度，确保在 \(\mathbb{R}^d\) 中退化为 Lebesgue 密度。 相比已有文献（如流形 KDE 要求切空间与指数映射的可微性），本文放宽了对空间本身微分结构的依赖，但强化了对测度 \(P\) 在距离参数 \(r\) 下的平滑性要求（A2, A3）——这是用 \(r\) 的 Taylor 展开替代坐标 Taylor 展开所必须支付的假设代价。

主要结果：

  1. 定理（逐点偏差与方差，MISE 展开）：
  2. 局部 MKDE 的逐点偏差：\(\text{Bias}(\hat{f}_L(x; h)) = \frac{h^2}{2} \left[ \frac{f_x'(0)}{v_x(0)} - \frac{f_x(0) v_x'(0)}{v_x(0)^2} \right] \kappa_2 + o(h^2)\)。 直觉：偏差由度量密度 \(f_x(r)\) 与参考体积 \(V_x(r)\) 对半径 \(r\) 的二阶导数决定。括号内的项 \(\frac{f_x'(0)}{v_x(0)} - \frac{f_x(0) v_x'(0)}{v_x(0)^2}\) 正是度量空间密度 \(f(x) = \frac{f_x(0)}{v_x(0)}\) 在距离参数下的“曲率修正二阶导数”，在 \(\mathbb{R}^d\) 中退化为 \(f''(x)\)。
  3. 逐点方差：\(\text{Var}(\hat{f}_L(x; h)) = \frac{f(x)}{n h v_x(0)} \int K^2(u) du + o((nh)^{-1})\)。
  4. MISE 展开：\(\text{MISE}(\hat{f}_L; h) = C_1 h^4 + C_2 (nh)^{-1} + o(h^4 + (nh)^{-1})\)，其中 \(C_1, C_2\) 依赖于核矩与度量密度的曲率项。
  5. 必要条件：A1-A4，以及 \(h \to 0, nh \to \infty\)。

  6. 解决的技术难点：在缺乏坐标系的度量空间中，将偏差表达为仅依赖距离分布 \(F_x(r)\) 与体积 \(V_x(r)\) 的导数，而不出现坐标梯度 \(f''(x)\)。

  7. 定理（渐近正态性）：

  8. \(\sqrt{nh} (\hat{f}_L(x; h) - f(x) - \text{Bias}(x; h)) \xrightarrow{d} N(0, \frac{f(x)}{v_x(0)} \int K^2(u) du)\)。

  9. 直觉：与欧氏 KDE 的渐近正态性形式完全一致，只是方差中的 Lebesgue 体积 \(h^d\) 被替换为度量体积 \(v_x(0) h\)（在一般度量空间中，体积增长率 \(v_x(0)\) 取代了常数 \(c_d\)）。

  10. 推论（最优带宽与最优 MISE 率）：

  11. 最优带宽 \(h^* \sim O(n^{-1/5})\)，最优 MISE 率 \(\sim O(n^{-4/5})\)。
  12. 直觉：只要度量分布与体积满足二阶平滑，收敛率与欧氏空间完全相同，度量空间的几何曲率只影响常数项，不影响阶。

证明路线与技术技巧：

  • 整体路线：
  • 将局部 MKDE 的期望写成对度量分布函数的积分：\(E[\hat{f}_L(x; h)] = \frac{1}{V_x(h)} \int_0^h K(r/h) f_x(r) dr\)。
  • 对 \(f_x(r)\) 与 \(V_x(h)\) 在 \(r=0\) 处做 Taylor 展开（这是核心跳跃，见下），代入积分，利用核矩条件消去一阶项，提取二阶偏差。
  • 计算方差，利用核的局部性（支撑有界或快速衰减），将方差近似为局部球内样本的二阶矩除以体积。
  • 积分偏差平方与方差，得到 MISE 渐近展开。

  • 对全局 MKDE \(\hat{f}_G\)，由于归一化体积 \(V_{X_i}(h)\) 是随机的，需先对 \(V_{X_i}(h)\) 做条件期望展开，再类似推导。

  • 关键跳跃点： 最吃功夫的引理是将 \(E[K(d(x, X)/h)]\) 的偏差展开，从坐标 Taylor 展开转化为距离参数 \(r\) 的 Taylor 展开。难点卡在：一般度量空间中，密度 \(f(u)\) 无法在 \(x\) 处展开，因为 \(u\) 与 \(x\) 之间没有线性结构。作者的办法是：注意到 \(E[K(d(x, X)/h)] = \int_0^\infty K(r/h) f_x(r) dr\)，这里 \(f_x(r)\) 是实值函数 \(r\) 的函数，只要 \(f_x(r)\) 在 \(r=0\) 处二阶可微，就可以在 \(r\) 域上做标准 Taylor 展开。这一步绕过了对空间线性结构的依赖，但引入了对 \(F_x(r)\) 可微性的强假设。

  • 技术技巧点名：

  • Taylor 展开（实值函数 \(r\) 的域）：用在偏差推导中，将 \(f_x(r)\) 与 \(V_x(r)\) 在 \(r=0\) 处展开，替代坐标展开。
  • 核矩条件（\(\int u K(u) du = 0\)）：用在偏差展开中消去一阶项，与欧氏 KDE 完全一致。
  • Delta 方法 / 随机体积展开：用在全局 MKDE 的偏差推导中，处理随机归一化因子 \(1/V_{X_i}(h)\) 的期望。
  • 经典 KDE 渐近理论框架：整体证明骨架复刻 Parzen (1962) 的框架，只是将 Lebesgue 测度替换为度量体积测度。

真实例子与应用： - 用的什么数据 / 场景：阿尔茨海默症（AD）患者的海马体形状数据。海马体表面被参数化为形状空间中的对象，配备形状间的距离（如当前形状与参考形状的残差距离）。 - 怎么把本文方法用上去：对不同 AD 严重程度分组（正常、轻度认知障碍、AD），计算各组海马体形状的局部与全局 MKDE，估计形状在度量空间中的密度分布。通过带宽选择准则（基于 MISE 的 plug-in 方法）选择 \(h\)，绘制密度热图。 - 得到什么结果：MKDE 能够捕捉海马体表面在不同 AD 阶段的局部形状变化模式，密度在 AD 组的特定区域（如内侧下表面）出现显著下降，这与 AD 对海马体萎缩的神经病理学发现一致。 - 这个例子想说明什么：验证 MKDE 在真实非欧数据（形状数据）上的可操作性，展示相对于仅用 Fréchet 均值描述中心趋势，MKDE 能提供更丰富的局部分布信息（哪里形状变异大、哪里密度低）。

🔎 结论是否比证明窄： - 本文在定理中严格证明了逐点偏差、方差与 MISE 展开，但在全局 MKDE \(\hat{f}_G\) 的 MISE 展开中，由于随机体积 \(V_{X_i}(h)\) 的高阶交互项，证明的严格性有所减弱，部分展开项被 claim 为 \(o(h^4)\) 而未给出完整的余项控制。研究者可核验定理 X 的证明细节，确认全局版本的 MISE 常数项是否严格成立。 - 渐近正态性的证明中，使用了经典 KDE 的 Lindeberg 条件类比，但在度量空间中，样本 \(K(d(x, X_i)/h)\) 的独立性虽成立，其矩的条件（有界性）依赖核的支撑与密度的局部有界性，这些在定理陈述中被泛泛假设，未在证明中逐条核验其必要性。

四、开放问题（点到为止，扎根具体语句）

  1. 度量分布函数 \(F_x(r)\) 的平滑性检验与估计：本文假设 A2-A3 要求 \(F_x(r)\) 与 \(V_x(r)\) 在 \(r=0\) 处二阶可微，但未提供从数据 \(\{d(x, X_i)\}\) 检验或估计这些导数 \(f_x'(0), v_x'(0)\) 的方法。要估什么：度量密度与体积的一阶、二阶导数；扎根在假设 A2-A3 的陈述与偏差常数项的表达式。
  2. 高维度量空间（体积增长率 \(d > 1\)）的 MISE 率：本文的 MISE 展开与最优带宽率 \(O(n^{-1/5})\) 针对的是体积增长率 \(V_x(r) \sim r\)（对应一维参数 \(r\) 的域）。若度量空间的内在维数为 \(d\)（\(V_x(r) \sim r^d\)），MISE 率应退化为 \(O(n^{-2/(d+4)})\)，本文的框架是否自然推广到 \(d > 1\) 的情形？扎根在 MISE 定理中 \(v_x(0)\) 的定义与方差项 \((nh)^{-1}\) 的维度依赖。
  3. 度量空间 KDE 的 minimax 下界：本文给出了 MKDE 的收敛率 \(O(n^{-4/5})\)，但未讨论这是否是度量空间密度估计的 minimax 最优率。要证什么：在满足 A2-A3 的度量空间密度类上，任何估计量的 MISE 下界是否为 \(O(n^{-4/5})\)；扎根在结论部分的 future work 讨论与经典 minimax 文献（如 Stone 1980）的对比缺口。
  4. 与 kNN 密度估计的竞争关系：本文未与同样仅依赖距离的 kNN 密度估计进行比较。要算什么：在相同平滑条件下，kNN 估计的 MISE 率与常数项，与 MKDE 的优劣；扎根在 intro 中对“仅依赖距离的方法”的 framing 与模拟实验中缺失的 kNN baseline。

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